Hans Walser, [20141116]

LinearitŠt

1     Worum geht es?

Es werden Visualisierungen zum Thema LinearitŠt gesucht.

2     Gleiche Breiten

Wir arbeiten mit Histogrammen konstanter Breite 1.

2.1    Treppendarstellung

Die Abbildung 1 zeigt die klassische Treppendarstellung auf der Basis eines Karorasters.

 

Abb. 1: Treppendarstellung

 

Die Staffelhšhen wachsen linear.

NatŸrlich hŠtte die Farbgebung einfacher gemacht werden kšnnen, etwa mit einer SchachbrettfŠrbung.

2.2    SchrŠgen

Das Funktionsdiagramm einer linearen Funktion ist eine Ursprungsgerade, in unserem Beispiel mit der Steigung 1.

Wir kšnnen die Treppe zu einer Figur mit SchrŠglinien umbauen (Abb. 2). Der Ursprung ist eine halbe Einheit links vom ersten schwarzen Trapez.

Die Trapeze, auch wenn es nicht so scheint, haben alle denselben FlŠcheninhalt 1. Jede Staffel hat die Breite 1.

Eine schachbrettartige FŠrbung ist nicht mehr mšglich.

 

Abb. 2: AbgeschrŠgte Figur

 

2.3    Kreisdarstellung

Die Abbildung 3 zeigt eine Kreisdarstellung. Alle Ringsektoren haben denselben FlŠcheninhalt. Allerdings gehšrt das Loch in der Mitte nicht zur Figur.

 

Abb. 3: Kreisdarstellung

 

Die Kreise haben der Reihe nach die Radien . Die Kreisringe haben daher die Breite 1.

3     Abnehmende Breiten

In der Abbildung 2 ist der Versatz des Ursprunges vielleicht stšrend, in der Abbildung 3 das wei§e Loch in der Mitte. Beides kann behoben werden, wenn wir auf gleiche Breiten verzichten.

3.1    AbgeschrŠgtes Staffelbild

Die Abbildung 4 zeigt ein abgeschrŠgtes Staffelbild.

 

Abb. 4: Abnehmende Breiten

 

Das Dreieck links unten und die Trapeze haben alle denselben FlŠcheninhalt.

Die Tabelle 1 gibt die Breiten der ersten Staffeln.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tab. 1: Staffelbreiten

Die n-te Staffel hat die Breite:

 

 

 

 

Die Breiten nehmen ab, das ist von Auge aber kaum wahrnehmbar.

Die Frage ist, ob es einen Grenzwert fŸr die Staffelbreiten gibt. Ich vermute:

 

 

 

Beweis:

ZunŠchst ist:

 

 

 

Wir fŸhren nun folgende Termumformung durch:

 

 

 

Somit ist:

 

 

 

Der vermutete Grenzwert ist offensichtlich.

Ende des Beweises.

3.2    Kreisdarstellung

Die Abbildung 5 zeigt die entsprechende Kreisdarstellung.

 

Abb. 5: Kreisdarstellung

 

Wir haben jetzt kein schwarzes Loch mehr. Die Kreise haben die Radien:

 

  

 

 

Der n-te Kreis hat den Radius:

 

 

 

Die Kreisbreiten entsprechen den Staffelbreiten der Abbildung 4.