Hans Walser, [20200221]

Lemniskate als Enveloppe von Kreisen

Anregung: LŠuchli 2020

1   Worum geht es?

Die BernoulliÕsche Lemniskate kann als Enveloppe von Kreisen erhalten werden. Hintergrund ist ein ebener Schnitt durch den Torus. Die Schnittebene ist tangential an einen Punkt des Kehlkreises des Torus.

2   Torus

Wir arbeiten mit einem Torus mit dem ãgro§enÒ Radius R (das ist der Radius vom Torusmittelpunkt zu den Zentren der Meridiankreise) und dem ãkleinenÒ Radius  r (der Radius der Meridiankreise). Als Torusmittelpunkt nehmen wir den Koordinatenursprung, als Torusachse die y-Achse.

Dieser Torus hat die implizite Gleichung:

 

                                                       (1)

 

 

 

 

Herleitung der impliziten Gleichung: Wir schneiden den Torus mit zur x,z-Ebene parallelen Ebenen im Abstand . Dies ergibt vier Kreise mit den Radien . Diese haben somit die Gleichungen:

 

                                                                              (2)

 

 

 

 

Durch Quadrieren und Wegmachen der Wurzeln erhalten wir daraus (1).

Die Abbildung 1 zeigt einen Torus mit R = 2 und r = 0.5. In der Abbildung 1a) wurde mit der impliziten Gleichung (1) mit 12×6×12 Gitterpunkten gearbeitet. Die Abbildung 1b) zeigt eine geglŠttete Version.

NatŸrlich kann man den Torus auch mit einer Parameterdarstellung beschreiben. FŸr unsere Zwecke ist aber die implizite Koordinatengleichung sachdienlicher.

Abb. 1: Torus

Nun tauchen wir den Torus ins Wasser, bis die WasseroberflŠche den Kehlkreis erreicht (Abb. 2).

Abb. 2: Eintauchen

Die Schnittfigur auf der WasseroberflŠche ist eine 8-fšrmige Kurve. Allerdings sind haben wir im Doppelpunkt keine rechten Winkel wie das fŸr die BernoulliÕsche Lemniskate der Fall sein mŸsste.

3   Die BernoulliÕsche Lemniskate

Die BernoulliÕsche Lemniskate erhalten wir fŸr ein RadienverhŠltnis R:r = 2:1.

Die Abbildung 3 zeigt die Situation fŸr R = 1 und r = 0.5.

Abb. 3: BernoulliÕsche Lemniskate

Wir haben zu zeigen, dass sich im Doppelpunkt rechte Winkel ergeben.

3.1  Anschaulicher Beweis mit viel Symmetrie und etwas Differentialgeometrie

Bei einem RadienverhŠltnis R:r = 2:1 ist der Kehlkreis gleich gro§ wie ein Meridiankreis. In einem Kehlkreispunkt haben wir also entgegengesetzt gleiche HauptkrŸmmungen. Die DupinÕsche Indikatrix ist eine gleichseitige Hyperbel. Die Asymptotenrichtungen sind orthogonal. Das sind aber auch die Tangentenrichtungen im Doppelpunkt.

3.2  Rechnerischer Beweis

Wir arbeiten mit R = 1 und r = 0.5. Aus (1) ergibt sich dafŸr die Torusgleichung:

 

                                                                     (3)

 

 

 

 

Die WasseroberflŠche hat die Gleichung . Eingesetzt in (3) erhalten wir:

 

                                                                                   (4)

 

 

 

 

Dies ist die Gleichung der BernoulliÕschen Lemniskate.

4   Torus und Kugeln

Die Idee ist, den Torus durch eine Folge von Kugeln zu ersetzen.

Die Abbildung 4a zeigt die Situation mit sechs Kugeln. Zwei Kugeln berŸhren die WasseroberflŠche, zwei schneiden einen Kreis heraus (Abb. 4b).

Abb. 4: Sechs Kungeln

Die Abbildung 5 zeigt die Situation mit zwšlf Kugeln. Die Kugeln und entsprechend die Kreise Ÿberschneiden sich. Sechs der zwšlf Kugeln haben Wasserkontakt.

Abb. 5: Zwšlf Kugeln

Die Abbildung 6 zeigt die Situation mit 24 Kugeln. Davon erreichten zwšlf die WasseroberflŠche.

Abb. 6: 24 Kugeln

Die Abbildung 7 zeigt die Schnittkreise bei 96 Kugeln (von denen 48 Wasserkontakt haben). Der Umriss ist die BernoulliÕsche Lemniskate. Man beachte, dass nicht alle Kreise der Kreisschar die Umrisslinie erreichen.

Abb. 7: 96 Kugeln

5   Rechnerisches

Bei 2N Kugeln haben deren N Wasserkontakt.

Wir fŸhren einen Parameter tn ein:

 

                                                                                   (5)

 

 

 

 

Die Mittelpunkte der 2N Kugeln haben die Koordinaten:

 

                                                               (6)

 

 

 

 

Die Kreise in der x,y-Darstellung haben die Mittelpunktkoordinaten  und die Radien:

 

                                   (7)

 

 

 

 

FŸr  wird der Radius (7) rein imaginŠr (die Kugeln sind oberhalb des Wasserspiegels), fŸr  reell.

Wir Šndern (7) ab in:

 

                                                                                     (8)

 

 

 

 

Damit haben wir auch fŸr  reelle Werte (welche geometrische Bedeutung haben diese?).

Die Abbildung 8 zeigt die erweiterte Kreisschar.

Abb. 8: Erweiterte Kreisschar

Die Enveloppe der erweiterten Kreisschar sieht aus wie eine Ellipse, ist aber keine [6] .

 

 

Literatur

Haftendorn, Dšrte (2017): Kurven erkunden und verstehen. Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Wiesbaden: Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-14748-8.

LŠuchli, Juan (2020): Die BernoulliÕsche Lemniskate im Unterricht. VSMP Bulletin.  Januar 2020, No 142, S. 6-11.

 

 

Websites

[1] Hans Walser: Lemniskate (abgerufen 23.02.2020):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate/Lemniskate.htm

 [2] Hans Walser: Lemniskate (abgerufen 23.02.2020):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate2/Lemniskate2.htm

 [3] Hans Walser: Lemniskate (abgerufen 23.02.2020):

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate3/Lemniskate3.htm

[4] Hans Walser: Lemniskatenmodell (abgerufen 23.02.2020)

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskatenmodell/index.html

[5] Hans Walser: Lemniskatoid (abgerufen 23.02.2020)

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskatoid/Lemniskatoid.htm

[6] Hans Walser: Eilinie (abgerufen 27.02.2020)

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Eilinie/Eilinie.htm