Hans Walser, [20160910]

Lemniskate

1     Worum geht es

Es werden Konstruktionen der Lemniskate mit Hilfe von Ellipsen und deren Brennpunkten besprochen.

2     Das Vorgehen

Wir zeichnen den Einheitskreis mit Mittelpunkt O(0, 0) und die Punkte S(1, 0),
N(–1, 0), E(0, 1), W(0, –1) (Abb. 1). Auf dem Einheitskreis wŠhlen wir einen beliebigen Punkt P.

Abb. 1: Ein Punkt P auf dem Einheitskreis

Nun zeichnen wir die Ellipse mit den konjugierten Halbmessern OS und OP sowie deren Brennpunkte F1 und F2 (Abb. 2).

Abb. 2: Ellipse mit Brennpunkten

Die beiden Brennpunkte liegen auf der zu den Punkten S und N gehšrenden Lemniskate (Abb. 3).

Abb. 3: Brennpunkte auf Lemniskate

Durch Variation von P erhalten wir so alle Punkte der Lemniskate (Ortslinie).

3     Lemniskate

Einige Fakten zur Lemniskate (Abb. 4).

Abb. 4: Lemniskate

Fźr einen Punkt L auf der Lemniskate gilt (definierende Eigenschaft):

 

                                                                                                                        (1)

 

In Polarkoordinaten hat die Lemniskate die Gleichung:

 

                                                                                                               (2)

 

In kartesischen Koordinaten hat die Lemniskate die Gleichung:

 

                                                                                            (3)

 

4     Beweis der Brennpunkteigenschaft

Der Punkt P (Abb. 2) habe die Koordinaten:

 

                                                                                                         (4)

 

Der Faktor 2 beim Parameter t ist aus technischen Grźnden dabei. Er vereinfacht die Formeln.

Da die beiden konjugierten Halbmesser OS und OP die gleiche LŠnge haben, sind die Hauptachsenrichtungen der Ellipse die Winkelhalbierenden der Halbmesser. Die Halbachsen a und b haben die LŠnge:

 

                                                                                         (5)

 

Daraus erhalten wir die halbe Brennpunktweite c:

 

                                                   (6)

 

Vergleich mit (2) beweist die Behauptung.

5     Umriss

Die Hźllkurve der sich durch die Variation von P ergebenden Ellipsenschar (rote Ellipse in Abb. 2 und 3) ist ihrerseits eine Ellipse (Abb. 5).

Abb. 5: Umrissellipse

Sie hat die Punkte N und S als Brennpunkte und verlŠuft durch die Punkt E und W.

Die lange Halbachse ist , die kurze Halbachse ist 1.

Wir kšnnen das durch eine kartografische †berlegung einsehen.

6     SchrŠgbild der Erdkugel

Wir stellen die Erdkugel auf den Tisch (Projektionsebene) und beleuchten von recht oben unter einem Winkel von 45ˇ (Abb. 6a, Aufriss).

In der Projektionsebene erhalten wir so ein SchrŠgbild der Erdkugel (Abb. 6b, Grundriss).

Abb. 6: SchrŠgbild der Erdkugel

Die Abbildung 7 zeigt das SchrŠgbild allein.

Abb. 7: Wo ist das schšne Tirol?

Die Breitenkreise sind in diesem SchrŠgbild als Kreise dargestellt. Der €quator erscheint als Einheitskreis in der Mitte. Der Kartenumriss ist eine Ellipse mit der langen Halbachse  und der kurzen Halbachse 1 (SchrŠgschnitt des sich durch die Projektionsstrahlen ergebenden Umrisszylinders). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Bilder der beiden Pole (†berlegung mit Kugeln von Dandelin). Die Meridiane erscheinen als Ellipsen durch die beiden Pole, welche die Umrissellipse von innen berźhren.

Die Abbildung 8 zeigt das Netz (15ˇ-Maschenweite) der Meridiane und Breitenkreise ohne die Erde. Wegen der Projektionsrichtung 45ˇ und der Maschenweite 15ˇ berźhren sich die Bilder der Breitenkreise.

Abb. 8: Meridiane und Breitenkreise

Die Figur der Abbildung 8 passt genau auf die Figur der Abbildung 5. Die rote Ellipse in der Abbildung 5 entspricht einem Meridianbild im SchrŠgbild.

Somit erhalten wir eine Variante der Lemniskaten-Konstruktion.

7     Variante der Lemniskaten-Konstruktion

Wir zeichnen die Punkte S(1, 0), N(–1, 0), E(0, 1), W(0, –1) und dazu die Ellipse mit den Brennpunkten S und N durch E. Auf der Ellipse wŠhlen wir einen beliebigen Punkt Q (Abb. 9).

Abb. 9: Start mit Ellipse

Nun zeichnen wir eine zweite Ellipse mit dem Mittelpunkt O durch S, welche die erste Ellipse in Q berźhrt (Abb. 10). Ebenso zeichnen wir die Brennpunkte G1 und G2 dieser Ellipse.

Abb. 10: Berźhrende Inellipse

Die Brennpunkte G1 und G2 liegen auf unserer Lemniskate (Abb. 11).

Abb. 11: Brennpunkte auf Lemniskate

 

Websites

Kartenprojektionen (04.09.2016):

http://swai.ethz.ch/swaie/MapProjector/MapProjector.de.html

 

Wikipedia, Lemniskate (08.09.2016):

https://de.wikipedia.org/wiki/Lemniskate_von_Bernoulli