1 Bögen

Wir zeichnen im Ursprung eine Strecke der Länge 2π senkrecht nach oben (Abb. 1). Dann krümmen wir nach rechts oder links mit den Krümmungen .

Abb. 1: Bögen der Länge 2π

Bei der Krümmung erhalten wir je einen Einheitskreis.

Die Abbildung 2 zeigt dasselbe mit Krümmungen von –1 bis +1 in Schritten von Vierzigsteln.

Abb. 2: Struwwelpeter

2 Herzkurve

Der Umriss der Figur ist eine Art Herzkurve (Abb. 3).

Abb. 3: Herzkurve

Diese Herzkurve hat die Parameterdarstellung:

(1)

3 Vergleich mit Kardioide

Bei unserer Herzkurve handelt es sich nicht um die übliche Kardioide. In der Abbildung 4 ist zusätzlich die (passend skalierte) Kardioide schwarz eingezeichnet.

Abb. 4: Schwarze Kardioide

4 Ausgedehnter Parameterbereich

In der Abbildung 5 ist der Parameterbereich für die Krümmung k auf die reellen Zahlen ausgedehnt, also:

(2)

Abb. 5: Ausgedehnter Parameterbereich

5 Andere Parametrisierung

In [1] ist eine Herzkurve beschrieben, die optisch mit der unsrigen deckungsgleich ist. Skaliert auf die Disposition in unserem Fall hat sie die Parameterdarstellung:

(3)

Wir zeigen, dass (1) und (3) dieselbe Kurve beschreiben. Dazu formen wir (3) in (1) um.

Wegen der Symmetrie zur y-Achse können wir in (3) in der x-Komponente das Vorzeichen wechseln:

(4)

Nun ersetzen wir und erhalten:

(5)

Weiter verwenden wir die trigonometrischen Identitäten:

(6)

Durch Anwenden von (6) in (5) erhalten wir (1). Dies war zu zeigen.

Website

[1] Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve/Herzkurve.htm