Hans Walser, [20100203b]

Kreisspiegelung und stereografische Projektion

1        Worum es geht

Zwischen der Kreisspiegelung und der stereografischen Projektion besteht ein Link.

Situation

Die Spiegelung des Kreises k am Kreis h ist dasselbe wie die stereografische Projektion von N aus.

2        Geometrischer Beweis

Die Kreisspieglung ist Mšbiuskreistreu. Da der Kreis k durch den Mittelpunkt N von h verlŠuft, ist sein Spiegelbild die rot eingezeichnete x-Achse.

3        Rechnerischer Beweis

Bezeichnungen: ,

Wir nehmen an,  sei das stereografische Bild von P und berechnen  mit Hilfe der Vektorgeometrie. Fźr die Gerade NP erhalten wir:

Schnitt mit der x-Achse liefert:

Somit ist:

Nun prźfen wir, ob das mit der Spiegelung am Kreis h kompatibel ist. Da der Kreis h den Radius  hat, ist zu prźfen:

Also:

4        Beispiel

Die Abbildung  (Variante der Cayley-Transformation) bildet den Einheitskreis (Kreisscheibe) auf die untere Halbebene ab. Die RŠnder entsprechen der oben geschilderten Situation.

Die Figur zeigt einen Ausschnitt.

Variante der Cayley-Transformation