Hans Walser, [20100923a]
Kreisfunktionen als Folgen
Frage: Welche beiden
Folgen und ergeben sich aus
den Startwerten und sowie der
gekoppelten Rekursionsformel:
Bearbeitung
In der Abbildung sind
die Punkte in blau und die
Punkte in rot eingetragen.
Visualisierung der
beiden Folgen
Wir vermuten, dass die
Kosinus- und die Sinusfunktionen hinter den beiden Folgen stecken.
Das kann wie folgt
eingesehen werden. Wir definieren:
Es ist also . Wegen ist dann .
Mit dieser Bezeichnung
gilt:
Beweis induktiv:
ZunŠchst ist und .
Es sei nun:
Aus der Rekursion
folgt:
Mit den Additionstheoremen
ergibt sich:
Verallgemeinerung: Mit und , den Startwerten und sowie der
gekoppelten Rekursionsformel:
ergibt sich fźr analog:
Wir kšnnen die beiden
Folgen entflechten. Aus der Rekursionsformel folgt zunŠchst:
Die erste Zeile
liefert: . Damit erhalten wir:
Das ist eine
Rekursionsformel vom verallgemeinerten Fibonacci-Typ. Wir benštigen zwei
Startwerte. Mit den beiden Startwerten und erhalten wir
dieselbe Folge wie oben. In der Abbildung sind zusŠtzlich die Punkte nach
dieser neuen Berechnungsart hellblau eingezeichnet.
Kontrollzeichnung