Hans Walser, [20071228d], [20130922]

Die KreisflŠche

1        Worum geht es?

In den folgenden †berlegungen gehen wir davon aus, dass wir die Formel  fŸr den Kreisumfang kennen, nicht aber die Formel fŸr den FlŠcheninhalt des Kreises.

Hingegen ist aus €hnlichkeitsŸberlegungen klar, dass diese die Form  mit vorlŠufig unbekanntem Faktor p haben muss.

Es werden drei Beispiele vorgestellt, wie der Faktor p bestimmt werden kann.

2        Aufschneiden von Kreisringen

Wir denken uns einen Kreis, der aus vielen konzentrischen Ringen zusammengesetzt ist. Man kann sich auch den Querschnitt einer Papierrolle denken.

Der Kreis

Nun schneiden wir den Kreis von oben her bis in die Mitte ein und lassen die einzelnen BlŠtter links und rechts auf den Tisch herunterfallen. Die Figurensequenz zeigt das in Zeitlupe.

Die BlŠtter fallen, fallen wie von weit. (Rilke)

Wir haben schlie§lich ein Dreieck; seine Hšhe ist der Kreisradius r, seine Grundseite der Umfang  des ursprŸnglichen Kreises. FŸr den FlŠcheninhalt erhalten wir also:

Das ist aber auch der FlŠcheninhalt des Kreises.

Wir kšnnen die BlŠtter auch noch weiter herunterfallen lassen.

†berdreht

Am Schluss ist die rote FlŠche gleich gro§ wie die wei§e KreisflŠche.

RotkŠppchen

3        Klopapier

Da ich nach P... verreisen wollte, riet man mir, Toilettenpapier mitzunehmen. So packte ich eine Rolle in den Rucksack. Als ich sie vor Ort dringend brauchte und aus dem Rucksack holte, war sie zusammengedrŸckt (Abbildung rechts).

Klorolle, neu und zusammengedrŸckt

Nun kann folgende †berlegung angestellt werden.

Die Formel fŸr den Kreisumfang kennen wir:

Die Formel fŸr den FlŠcheninhalt sieht so aus: , mit einem noch unbekannten Faktor p.

FŸr die Klorolle haben wir einen Au§enradius  und einen Innenradius  und damit eine QuerschnittsflŠche:

 

Der Querschnitt der zusammengedrŸckten Rolle setzt sich aus zwei Halbkreisen mit dem Radius  und einem Rechteck zusammen. Dieses Rechteck hat die Hšhe  und die LŠnge ; das ist der halbe Umfang des Innenkreises. FŸr die QuerschnittsflŠche der zusammengedrŸckten Rolle erhalten wir somit:

Die beiden QuerschnittsflŠchen sind gleich, also:

Somit ist:


4        Unterteilung der KreisflŠche

Wir unterteilen den Kreis in einen Teil.

Ein Teil

Meine Mutter gab bei allen passenden und unpassenden Gelegenheiten zum Besten, sie hŠtte einmal einen Kuchen gebacken und mir erlaubt, etwas davon abzuschneiden. Ich hŠtte dann von der Mitte her bis zum Rand geschnitten, und das StŸck gegessen.

Nun unterteilen wir in vier flŠchenmŠ§ig gleich gro§e Teile:

Vier gleich gro§e Teile

Dass die vier Teile flŠchenmŠ§ig gleich gro§ sind, kann so eingesehen werden: Der innere Kreis hat den halben Durchmesser wie der gro§e Kreis. Hat eine Figur die gleiche Form wie eine andere, ist aber lŠngenmŠ§ig nur halb so gro§, dann ist ihr FlŠcheninhalt nur ein Viertel des FlŠcheninhaltes der anderen Figur. Der Šu§ere Kreisring hat also noch den dreifachen FlŠcheninhalt des inneren StŸckes; durch Dritteln des Ringes ergeben sich zusammen mit dem inneren StŸck vier flŠchengleiche Teile.

In den folgenden beiden Figuren sehen wir eine Unterteilung in neun beziehungsweise 16 gleiche Teile. Diese sind in drei beziehungsweise vier Ringen angeordnet.

Neun beziehungsweise 16 gleich gro§e Teile

Die Ringe enthalten von innen nach au§en  Teile, und insgesamt ergeben sich  flŠchenmŠ§ig gleich gro§e Teile.

In den beiden folgenden Figuren hat es 100 respektive 400 gleich gro§e Teile, angeordnet in 10 beziehungsweise 20 Ringen.

100 respektive 400 gleich gro§e Teile

Die  Teile im Šu§ersten Ring sind praktisch Rechtecke. Sie haben eine Breite von  (r ist der Kreisradius). FŸr die LŠnge machen wir eine Mittelrechnung: die Šu§ere LŠnge ist , die innere LŠnge ist . Damit ergibt sich eine mittlere LŠnge l:

FŸr ein einzelnes Rechteck erhalten wir somit den FlŠcheninhalt:

Der Kreis setzt sich aus  flŠchengleichen Teilen zusammen, somit ist: