Hans Walser, [20211002]

Kreis und Parabel

1     Quadratische Parabel

Der größte Kreis, der in die quadratische Parabel y = x2 so einfügt werden kann, dass er den Scheitel berührt, ist der Krümmungskreis (Abb. 1).

Abb. 1: Krümmungskreis in der quadratischen Parabel

2     Andere Parabeln

Leider ist die Idee mit dem Krümmungskreis nicht verallgemeinerungsfähig. Die Parabel mit der Gleichung y = x4 hat im Scheitel die Krümmung null. Der Krümmungs“kreis“ ist eine Gerade. So geht das nicht.

3     Problemstellung

Welches ist der größte Kreis, der in die Parabel vierten Grades y = x4 so eingefügt werden kann, dass er den Scheitel berührt? (Abb. 2)

Abb. 2: Parabel vierten Grades

Der Kreis hat den Radius r:

 

                                                                                                  (1)

 

4     Allgemein

Wir studieren das Problem für die Kurve mit der Gleichung:

 

                                                                                                                         (2)

 

Der Berührungspunkt rechts habe die Koordinaten:

 

                                                                                                                        (3)

 

Die Kurvennormale in B schneidet die y-Achse im Punkt M mit:

 

                                                                                                   (4)

 

Dieser Punkt soll von B und vom Scheitelpunkt der Parabel denselben Abstand haben (nämlich den Radius des gesuchten Kreises). Dies führt auf die Bedingung:

 

                                                                               (5)

 

Diese Gleichung hat für t die Lösung:

 

                                                                                                          (6)

 

Der zugehörige Kreisradius r ist:

 

                                                       (7)

 

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte.

 

n

t

r

2

0

0.5

3

0.7598356856

0.8773826754

4

0.8908987180

0.9449407875

5

0.9381427056

0.9689096204

6

0.9602645016

0.9800658524

7

0.9723501013

0.9861429902

8

0.9796609665

0.9898131656

9

0.9844155619

0.9921976249

10

0.9876796608

0.9938334860

 

Tab. 1: Werte

5     Weitere Beispiele

Abb. 3.1: n = 3

Abb. 3.2: n = 2.5

6     Negative Werte

Die Kurven für n und 2 – n rahmen denselben Kreis ein (Abb. 4).

Abb. 4.1: n = 3 und n = –1

Abb. 4.2: n = 6 und n = –4

Abb. 4.3: n = 2 und n = 0