Hans Walser, [20211002]
Kreis und Parabel
Der größte Kreis, der in die quadratische Parabel y = x2 so einfügt werden kann, dass er den Scheitel berührt, ist der Krümmungskreis (Abb. 1).
Abb. 1: Krümmungskreis in der quadratischen Parabel
Leider ist die Idee mit dem Krümmungskreis nicht verallgemeinerungsfähig. Die Parabel mit der Gleichung y = x4 hat im Scheitel die Krümmung null. Der Krümmungs“kreis“ ist eine Gerade. So geht das nicht.
Welches ist der größte Kreis, der in die Parabel vierten Grades y = x4 so eingefügt werden kann, dass er den Scheitel berührt? (Abb. 2)
Abb. 2: Parabel vierten Grades
Der Kreis hat den Radius r:
(1)
Wir studieren das Problem für die Kurve mit der Gleichung:
(2)
Der Berührungspunkt rechts habe die Koordinaten:
(3)
Die Kurvennormale in B schneidet die y-Achse im Punkt M mit:
(4)
Dieser Punkt soll von B und vom Scheitelpunkt der Parabel denselben Abstand haben (nämlich den Radius des gesuchten Kreises). Dies führt auf die Bedingung:
(5)
Diese Gleichung hat für t die Lösung:
(6)
Der zugehörige Kreisradius r ist:
(7)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte.
n |
t |
r |
2 |
0 |
0.5 |
3 |
0.7598356856 |
0.8773826754 |
4 |
0.8908987180 |
0.9449407875 |
5 |
0.9381427056 |
0.9689096204 |
6 |
0.9602645016 |
0.9800658524 |
7 |
0.9723501013 |
0.9861429902 |
8 |
0.9796609665 |
0.9898131656 |
9 |
0.9844155619 |
0.9921976249 |
10 |
0.9876796608 |
0.9938334860 |
Tab. 1: Werte
Abb. 3.1: n = 3
Abb. 3.2: n = 2.5
Die Kurven für n und 2 – n rahmen denselben Kreis ein (Abb. 4).
Abb. 4.1: n = 3 und n = –1
Abb. 4.2: n = 6 und n = –4
Abb. 4.3: n = 2 und n = 0