Hans Walser, [20080409a]
Eine Visualisierung des Kosinussatzes
Es wird
eine zum Pythagoras-Piktogramm analoge Figur fŸr nicht rechtwinklige Dreiecke
besprochen. Dabei werden Šhnliche gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkel oder aufgesetzt.
Der
relevante Winkel im grŸnen
Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel :
blau + blau + grŸn = rot
Der
relevante Winkel im grŸnen
Dreieck ist spitz; dies ist auch der Basiswinkel der gleichschenkligen
Dreiecke:
blau + blau = grŸn + rot
Dies
erinnert an das Piktogramm fŸr den Satz des Pythagoras, in welchem allerdings der
FlŠcheninhalt des Dreieckes keine Rolle spielt:
blau + blau = rot
Wir
arbeiten mit dem spitzen Au§enwinkel und
setzen gleichschenklige Dreiecke mit dem Basiswinkel auf.
Wir arbeiten
mit dem Au§enwinkel
In dieser
Situation gilt der FlŠchensatz:
Die beiden blauen Dreiecke plus das grŸne Dreieck sind zusammen
flŠchenmŠ§ig gleich gro§ wie das rote Dreieck.
Es ist:
Zu prŸfen
ist:
Die
letzte Zeile ist wegen der
Kosinus-Satz.
Beweisidee:
Wolfgang Kroll, Marburg
Wir
spiegeln das Dreieck an AB, das Bilddreieck sei . Dann gilt:
Die
Punkte liegen also auf
demselben Ortsbogen Ÿber AB.
Spiegelung
und Ortsbogen
Weiter
gelten folgende Winkelbeziehungen:
Wegen und ist (gleiche
Peripheriewinkel Ÿber gleich langen Sehnen). Da das Dreieck gleichschenklig
ist, folgt sogar . Analog kann gezeigt werden;
das Viereck ist also ein
Parallelogramm.
Parallelogramm
Daher
ist:
Also
gilt:
Damit ist
der FlŠchensatz bewiesen.
Da die
drei gleichschenkligen Dreiecke Šhnlich sind, haben wir ein festes VerhŠltnis zwischen der
SchenkellŠnge und der BasislŠnge. (Es ist , wir benštigen diese Formel im folgenden aber nicht.)
Nun
ergŠnzen wir die drei Punkte zum
Parallelogramm (Figur).
ErgŠnzung
zum Parallelogramm
Dann
gilt:
Die
beiden neuen Dreiecke und sind in der
folgenden Figur magenta eingezeichnet.
FlŠchengleiche
Dreiecke
Wir
vermuten, dass . Dies kann wie folgt eingesehen werden: Aus Symmetrie- und
ParallelitŠtsgrŸnden ist . Somit ist mit dem
€hnlichkeitsfaktor . Daher ist . Analog kann nachgewiesen
werden. Damit ist unsere Vermutung bewiesen. Daraus folgt aber der FlŠchensatz.
Bei einem
Dreieck ABC mit spitzem Winkel setzen wir auf
allen drei Seiten je ein gleichschenkliges Dreieck mit der betreffenden
Dreieckseite als Basis und dem Basiswinkel auf.
Aufgesetzte
gleichschenklige Dreiecke
Dann
gilt:
Die beiden blauen Dreiecke sind zusammen flŠchenmŠ§ig gleich gro§ wie
das rote Dreieck zusammen mit dem grŸnen Dreieck.
Es ist:
Zu prŸfen
ist:
Die
letzte Zeile ist aber der Kosinus-Satz.
Wir
spiegeln die Dreiecke und an
den Seiten b beziehungsweise a. Dies liefert die Bilddreiecke und . Aus WinkelŸberlegungen analog zum stumpfwinkligen Fall
folgt, dass die fŸnf Punkte auf einem Kreis
liegen und weiter das Viereck ein
Parallelogramm ist.
Kreis und
Parallelogramm
Daher
ist:
Daraus
folgt:
Dies war
zu beweisen.
ZunŠchst
verschieben wir — um den †berblick nicht zu verlieren — die
Dreiecke und um die
respektiven Vektoren und . Wir erhalten die Bilddreiecke und , die sich allerdings Ÿberlappen.
Verschiebung
Nun ergŠnzen wir die drei Punkte zum Parallelogramm ; dies ist in der folgenden Figur dargestellt.
ErgŠnzung
zum Parallelogramm
Mit erhalten wir
flŠchengleiche Dreiecke:
Die
beiden neuen Dreiecke und sind in der
Figur magenta eingezeichnet.
Wir
vermuten, dass die Vierecke und kongruent sind
(Punktsymmetrie).
Kongruente
farbige Vierecke?
ZunŠchst
ist das Dreieck kongruent zum
Dreieck . Weiter ist mit dem
Streckfaktor (in diesem Fall
ist ). Daher ist . Analog kann gezeigt werden.
Damit ist die Vermutung bewiesen.
Der
Kosinus-Satz enthŠlt fŸr als Sonderfall
den Satz des Pythagoras. Leider kšnnen wir in unserem FlŠchensatz den Winkel nicht als rechten Winkel wŠhlen, da die gleichschenkligen Dreiecke sonst zu
Halbstreifen mit unendlich gro§em FlŠcheninhalt ausarten wŸrden. Zudem wŠre die
Frage, auf welcher Seite die DreiecksflŠche nun zu rechnen wŠre, da als Grenzfall
sowohl eines stumpfen wie eines spitzen Winkels zu sehen wŠre. Allerdings kann
man sagen, dass eine endliche DreiecksflŠche im Vergleich zu den unendlichen
Halbstreifen ohnehin quantitŽ
nŽgligeable ist. Aber statt Ÿber das Unendliche zu
philosophieren, bleiben wir bei den Leuten und stutzen die gleichschenkligen
Dreiecke. Wir schneiden sie bei relativ gleicher Hšhe durch, so dass
gleichschenklige Trapeze der respektiven Hšhen , , mit frei
wŠhlbarem Ÿbrig bleiben.
Als Referenz an das Ÿbliche Pythagoras-Piktogramm wŠhlen wir .
Die Frage
ist, wie wir das zentrale Dreieck stutzen mŸssen, damit der FlŠchensatz wieder
gilt. Das sehen wir, wenn wir die abgeschnittenen Teile der gleichschenkligen
Dreiecke neu zusammensetzen. Es entsteht dann ein kleines zentrales Dreieck, das
zum ursprŸnglichen Dreieck Šhnlich ist und von diesem abgeschnitten werden
muss. Es bleibt ein (im allgemeinen nicht gleichschenkliges) Trapez Ÿbrig.
Trapeze
als gestutzte Dreiecke. Rest neu zusammengesetzt
Wir
erhalten so einen FlŠchensatz mit Trapezen:
blau + blau + grŸn = rot
FŸr einen
spitzen Winkel gilt ein
analoger FlŠchensatz:
blau + blau = grŸn + rot
In beiden
FŠllen werden fŸr die blauen und
das rote Trapez zu Quadraten und das grŸne Trapez verschwindet. Es entsteht das
Pythagoras-Piktogramm.
Die Figur
zeigt ein Zerlegungspuzzle. Es handelt sich hier allerdings um einen Sonderfall
mit . Es ist dann . Gibt es andere einfache Puzzles?
Zerlegungspuzzle