Hans Walser, [20201006]

Kegelschnitte und Thaleskreise

Anregung: Zvonimir Durcevic, Wien

1     Worum gehrt es?

Spiel mit Kegelschnitten, Thaleskreisen und verschiedenen Berźhrungen.

Verifikationen mit DGS.

2     Ellipse

Wir beginnen mit einer Ellipse mit den Brennpunkten F1 und F2 und einem Ellipsenpunkt P (Abb. 1.1). Wir zeichnen auch die Ellipsenachse durch die beiden Brennpunkte.

Abb. 1.1: Ellipse

Nun zeichnen wir den Thaleskreis źber den spitzen Scheiteln S1 und S2 (blau in Abb. 1.2).

Abb. 1.2: Thaleskreis źber spitzen Scheiteln

Weiter zeichnen wir die Thaleskreise źber den Strecken F1P und F2P (rot in Abb. 1.3). Die Summe der Radien der beiden roten Kreise ist gleich dem Radius des blauen Kreises (Abstandseigenschaft der Ellipse).

Abb. 1.3: Thaleskreise

Und nun wird es spannend: die beiden roten Kreise berźhren den blauen Kreis von innen. Verifikation mit DGS.

Die Gerade durch die beiden Berźhrpunkte B1 und B2 ist die Tangente an die Ellipse im Ellipsenpunkt P (Abb. 1.4). Verifikation mit DGS.

Die Strecken F1B1 und F2B2 sind senkrecht zur Ellipsentangente (Thaleskreise).

Abb. 1.4: Ellipsentangente

Und noch ein kleiner Nachbrenner: der zweite Schnittpunkt G der beiden roten Kreise liegt auf der Ellipsenachse. Die Strecke GP ist senkrecht zur Ellipsenachse (Abb. 1.5). Verifikation mit DGS.

 

Abb. 1.5: Schnittsehne der beiden roten Kreise

Die Animation 1 illustriert die Sachverhalte.

 

Animation1.gif

Animation 1: Ellipse und Thaleskreise

3     Hyperbel

Bei der Hyperbel lŠuft es analog. Wir beginnen mit einer Hyperbel mit den Brennpunkten F1 und F2 und einem Hyperbelpunkt P (Abb. 2.1). Wir zeichnen auch die Hyperbelachse durch die beiden Brennpunkte.

Abb. 2.1: Hyperbel

Nun zeichnen wir den Thaleskreis źber den Scheiteln S1 und S2 (blau in Abb. 2.2).

Abb. 2.2: Thaleskreis źber Scheiteln

Weiter zeichnen wir die Thaleskreise źber den Strecken F1P und F2P (rot in Abb. 2.3). Die Differenz der Radien der beiden roten Kreise ist gleich dem Radius des blauen Kreises (Abstandseigenschaft der Hyperbel).

Abb. 2.3: Thaleskreise

Und nun wird es spannend: die beiden roten Kreise berźhren den blauen Kreis von au§en. Verifikation mit DGS.

Die Gerade durch die beiden Berźhrpunkte B1 und B2 ist die Tangente an die Hyperbel im Hyperbelpunkt P (Abb. 2.4). Verifikation mit DGS.

Die Strecken F1B1 und F2B2 sind senkrecht zur Hyperbeltangente (Thaleskreise).

Abb. 2.4: Hyperbeltangente

Und wieder ein kleiner Nachbrenner: der zweite Schnittpunkt G der beiden roten Kreise liegt auf der Hyperbelachse. Die Strecke GP ist senkrecht zur Hyperbelachse (Abb. 2.5). Verifikation mit DGS.

 

Abb. 2.5: Schnittsehne der beiden roten Kreise

4     Parabel

Bei der Parabel wird es einfacher. Wir beginnen mit einer Parabel mit dem Brennpunkt F und der Leitlinie l (Abb. 3.1). Weiter sei P ein Parabelpunkt. Ebenso zeichnen wir die Symmetrieachse.

Abb. 3.1: Parabel

Wir zeichnen die Scheiteltangente (blau in Abb. 3.2).

Abb. 3.2: Scheiteltangente

Nun zeichnen wir źber der Strecke FP den Thaleskreis (rot in Abb. 3.3).

Abb. 3.3: Thaleskreis

Der Thaleskreis berźhrt die Scheiteltangente (Abb. 3.3). Dies folgt aus der Leitlinienkonstruktion der Parabel.

Die Parabeltangente in P verlŠuft durch den Berźhrungspunkt B (Abb. 3.4). Die Strecke FB ist senkrecht zur Parabeltangente.

Abb. 3.4: Parabeltangente