Hans Walser, [20160617]
Kathetensatz
1 Worum geht es?
Der Linienraster der Abbildung 1 gestattet durch geeignete FŠrbung Illustration und Beweis des Kathetensatzes.
Ebenfalls gewinnen wir eine Grundlage fŸr einen Zerlegungsbeweis.
Abb. 1: Linienraster
Doch nun der Reihe nach.
2 Illustration des Kathetensatzes
Die Abbildung 2 zeigt die Ÿbliche Illustration des Kathetensatzes. Das rote Rechteck ist flŠchengleich zum roten Kathetenquadrat. Entsprechend in blau.
Abb. 2: Kathetensatz
3 Einrahmung
Wir ergŠnzen die Figur gemŠ§ Abbildung 3. So erhalten wir einen gediegenen Rahmen fŸr unsere †berlegungen.
Abb. 3: Rahmen
4 FlŠchenverwandlungen
Wir verwandeln die beiden Rechtecke zunŠchst in flŠchengleiche Parallelogramme (Abb. 4).
Abb. 4: Parallelogramme
Das rote Parallelogramm hat mit dem roten Quadrat eine Seite, also eine Grundlinie, gemeinsam. Aus dem angefŸgten Rahmen ersehen wir aber, dass das rote Parallelogramm auch die rote Quadratseite als zugehšrige Hšhe hat und damit denselben FlŠcheninhalt wie das rote Quadrat. Entsprechend in blau. Damit ist die Aussage des Kathetensatzes bewiesen.
Wer Lust hat, kann nun die Parallelogramme in Quadrate verwandeln (Abb. 5).
Abb. 5: FlŠchengleiche Quadrate
5 Zerlegungsbeweis
Durch geeignete Unterteilung im Linienraster der Abbildung 1 finden wir einen Zerlegungsbeweis (Abb. 6).
Abb. 6: Zerlegungsbeweis
Die Abbildung 7 zeigt denselben Zerlegungsbeweis ohne den Rahmen.
Abb. 7: Zerlegungsbeweis ohne Rahmen