Hans Walser, [20210117]

Kardioide und invariante FlŠchen

Anregung: Stephan Berendonk, Kšln

1     Worum geht es?

Ein klassisches Beispiel fŸr eine invariante FlŠchensumme sind die beiden Kathetenquadrate beim rechtwinkligen Dreieck, wenn die Ecke mit dem rechten Winkel auf dem Thaleskreis bewegt wird.

Bei der Kardioide gibt es einen Šhnlichen Sachverhalt.

2     Kardioide und FŠcher

An der einwŠrts gerichteten Spitze einer Kardioide (Abb. 1a) setzen wir einen regelmŠ§igen n-teiligen FŠcher an (Abb. 1b fŸr n = 5). Die FŠchergeraden schneiden wir mit der Kardioide.

Abb. 1: Kardioide und FŠcher

Ausblick: Was ist los mit den Kardioidentangenten in den Schnittpunkten?

Die Schnittpunkte definieren ein n-Eck (Abb. 2a). Den Seiten des n-Ecks setzen wir Quadrate an (Abb. 2b).

Abb. 2: Vieleck und Quadrate

Nun drehen wir den FŠcher um sein Zentrum (Abb. 3 und 4). Dann gilt folgendes:

Der FlŠcheninhalt des n-Ecks bleibt invariant.

Die FlŠchensumme der n Quadrate bleibt invariant.

 

030.gif

Abb. 3: Drehen des FŠchers

 

040.gif

Abb. 4: 20-teiliger FŠcher

3     Beweise

3.1    Formeln auf Vorrat

Ich wei§, ich wei§, das Anlegen eines Formelvorrates ist didaktisch verpšnt. Es widerspricht den hehren Prinzipien von entdeckendem Lernen und projektorientiertem Arbeiten. Aber der Kuchen kann erst gegessen werden, wenn er gebacken ist.

3.1.1   Summe und Differenz von Winkeln

Aus den Additionstheoremen folgt:

 

           (1)

 

 

 

 

 

 

Analog:

 

                       (2)

 

 

 

3.1.2   Zyklische Summen

 

                                                                                                 (3)

 

 

 

 

 

 

Beweis: Die Vektoren

 

                                                                                             (4)

 

 

 

 

lassen sich zu einem geschlossenen regelmŠ§igen n-Eck zusammenfŸgen (Abb. 5 fŸr n = 5). Dabei ist t der Verdrehungswinkel der Figur. Auf das Resultat in (3) hat er keinen Einfluss. Hier tritt zum ersten Mal das PhŠnomen der Invarianz auf.

Abb. 5: Umordnen der Vektoren

Etwas allgemeiner:

 

                                                                         (5)

 

 

 

 

 

 

Die Abbildung 6 deutet den Beweis fŸr n = 5 und j = 2 an. Wie ist es, wenn j ein Teiler von n ist?

Abb. 6: Weihnachten kommt bestimmt

3.1.3   Zyklische Summen mit Quadraten

 

                                                                                               (6)

 

 

 

 

 

 

Herleitung: Aus dem Additionstheorem fŸr den Kosinus ergibt sich:

 

                                                                                          (7)

 

 

 

Daher ist:

 

     (8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Statt t fŠllt jetzt 2t heraus.

Damit ist die erste Zeile von (6) gezeigt. Da die Summe der beiden linken Seiten von (6) den Wert n ergibt, folgt die zweite Zeile von (6).

3.1.4   Zyklische Summe eines Produktes

 

               (9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Statt t fŠllt jetzt  weg.

Und nun zur Sache.

3.2    Kardioidendarstellung

FŸr den Beweis arbeiten wir mit der Kardioidendarstellung in Polarkoordinaten:

 

                                                                                                     (10)

 

 

 

Die EinwŠrtsspitze kommt in den Ursprung zu liegen (Abb. 7).

In der Abbildung 7 ist ein um t = 26¡ verdrehter FŠcher mit n = 20 Strahlen eingezeichnet.

Abb. 7: Beweisfigur

3.3    FlŠchenberechnungen

3.3.1   Das Vieleck

FŸr das gelbe Dreieck erhalten wir den FlŠcheninhalt:

 

                           (11)

 

 

 

Somit ergibt sich fŸr den FlŠcheninhalt A des gelben n-Ecks (Abb. 2a):

 

                   (12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Der Drehparameter  fŠllt weg. Damit ist die Invarianz bewiesen.

Die Tabelle gibt den invarianten FlŠcheninhalt des n-Eckes fŸr n = 3 ... 12.

 

n

FlŠcheninhalt

numerisch

3

9/16*3^(1/2)

0.9742785795

4

2

2.

5

5/2*sin(2/5*Pi)+5/8*sin(1/5*Pi)

2.745007074

6

15/8*3^(1/2)

3.247595265

7

7/2*sin(2/7*Pi)+7/8*sin(3/7*Pi)

3.589472112

8

2*2^(1/2)+1

3.828427124

9

9/2*sin(2/9*Pi)+9/8*sin(4/9*Pi)

4.000452966

10

5*sin(1/5*Pi)+5/4*sin(2/5*Pi)

4.127746908

11

11/2*sin(2/11*Pi)+11/8*sin(4/11*Pi)

4.224268490

12

3+3/4*3^(1/2)

4.299038106

Tab. 1: FlŠcheninhalt

FŸr  wird  (CAS). Das ist der FlŠcheninhalt der Kardioide.

 

3.3.2   Die Quadrate

FŸr die SeitenlŠnge sk und die QuadratflŠche dazu (Abb. 7) finden wir mit dem Kosinussatz:

 

                     (13)

 

 

 

 

 

 

Beim Aufsummieren erhalten wir unter BenŸtzung der Formeln in Abschnitt 3.1:

 

                                                               (14)

 

 

 

 

Wiederum fŠllt der Drehparameter t weg. Damit ist die Invarianz der Quadratsumme nachgewiesen.

Die Tabelle 2 gibt die invariante Quadratsumme fŸr n = 3 ... 12.

 

n

Quadratsumme

numerisch

3

45/4

11.25

4

12

12.

5

15-10*cos(2/5*Pi)-5*cos(2/5*Pi)^2

11.43237255

6

21/2

10.5

7

21-14*cos(2/7*Pi)-7*cos(2/7*Pi)^2

9.549966050

8

20-8*2^(1/2)

8.68629150

9

27-18*cos(2/9*Pi)-9*cos(2/9*Pi)^2

7.929783221

10

30-20*cos(1/5*Pi)-10*cos(1/5*Pi)^2

7.274575139

11

33-22*cos(2/11*Pi)-11*cos(2/11*Pi)^2

6.707639710

12

27-12*3^(1/2)

6.21539030

 

Tab. 2: Quadratsummen

FŸr wachsende n verschwindet die Quadratsumme.

 

 

Websites

 

Hans Walser: Al-Sijizi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html

Hans Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide5/Kardioide5.htm

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide6/Kardioide6.htm

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide8/Kardioide8.htm

Hans Walser: Kardioide als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide4/Kardioide4.htm

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

Hans Walser: Kardioide und regelmŠ§ige Vielecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/Kardioide3.htm

Hans Walser: Kardioide und Thaleskreis
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide7/Kardioide7.htm

Hans Walser: Umkreis bei regelmŠ§igen Vielecken
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Umkreis/index.html