Hans Walser, [20210115]

Kardioide und Thaleskreis

1     Worum geht es?

Die Menge der Punkte, von denen aus die Kardioide unter einem rechten Winkel gesehen werden kann, ist ein Kreis.

2     Kardioide und Sehne

FŸr die Kardioide verwenden wir die Parameterdarstellung:

 

                       (1)

 

 

 

 

 

Die Kardioide ist eine †berlagerung von Kreisbewegungen.

FŸr einen beliebigen Parameterwert t zeichnen wir die Kardioidenpunkte mit den Parameterwerten t und  ein (Abb. 1a).

Bemerkung: Die beiden Punkte sind im Parameterbereich um ¹ versetzt. In einem Kreis mit der Ÿblichen Parametrisierung wŠren das diametrale Punkte, ihre Verbindung ein Durchmesser.

 

Abb. 1: Kardioide mit Sehne

Nun gilt folgendes:

á            Die durch die beiden Punkte aufgespannte Sehne geht durch die EinwŠrts-Spitze.

á            Die Sehne hat (in unserer Parametrisierung) die LŠnge 1. Wir haben also eine Invariante.

á            Der Mittelpunkt der Sehne liegt auf einem Kreis (Abb. 1b).

Diese Sachverhalte gehen zurŸck auf ƒtienne Pascal (1488-1651, Vater von Blaise Pascal).

3     Tangenten und Thaleskreis

Wir zeichnen nun in den beiden Endpunkten der Sehne die Tangenten an die Kardioide (Abb. 2a). Diese Tangenten schneiden sich unter einem rechten Winkel. Beweis mit Methoden der Differentialgeometrie.

Bemerkung: GeoGebra ¨ verneint diese OrthogonalitŠt. Das dŸrfte wohl eine Folge der Verwendung der Kreisfunktionen Kosinus und Sinus in (1) sein. Ein didaktisch interessantes Beispiel.

Abb. 2: Tangenten und Thaleskreis.

Der Schnittpunkt der beiden Tangenten liegt auf einem Kreis gemŠ§ Abbildung 2b. Also eine Art Verallgemeinerung des Begriffs des Thaleskreises. Nachweis rechnerisch mit CAS.

Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt.

 

030.gif

Abb. 3: Kardioide und Thaleskreis

 

 

Websites

Hans Walser: Al-Sijizi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Al-Sijzi/index.html

Hans Walser: Die Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

Hans Walser: Herzkurve als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide5/Kardioide5.htm

Hans Walser: Kardioide
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide6/Kardioide6.htm

Hans Walser: Kardioide als Enveloppe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide4/Kardioide4.htm

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

Hans Walser: Kardioide und regelmŠ§ige Vielecke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/Kardioide3.htm

Hans Walser: Umkreis bei regelmŠ§igen Vielecken
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Umkreis/index.html