Hans Walser, [20200714]
Kantenmittenspirale
Anregung: M. E., B.
Spiralen im Kontext von regelmŠ§igen Kantenmittenfiguren
Bilder
Das Kantenmitten-n-Eck eines regelmŠ§igen n-Ecks ist ebenfalls regelmŠ§ig, aber verkleinert um den LŠngenfaktor . Iteration des Prozesses liefert eine Folge von regelmŠ§igen n-Ecken. Die Abbildung 1 zeigt das Beispiel fźr n = 6.
Abb. 1: Kantenmittenfigur
Die Abbildung 2 zeigt eine Kantenmittenspirale in der Kantenmittenfigur der Abbildung 1. Die Spirale beginnt bei einer Ecke des Šu§ersten n-Ecks und lŠuft bis zur anschlie§enden Kantenmitten. Dort geht sie źber auf das anschlie§ende n-Eck.
Abb. 2: Kantenmittenspirale
Die Teilstrecken der Kantenmittenspirale bilden eine geometrische Folge mit dem Quotienten . Bezogen auf die SeitenlŠnge 1 des Šu§ersten n-Ecks hat die Spirale daher die LŠnge sn:
(1)
Im Beispiel der Abbildung 2 ist:
(2)
Es gibt insgesamt 2n Kantenmittenspiralen (Abb. 3), die durch Drehen und Spiegeln auseinander hervorgehen.
Die Spiralen sind eckige logarithmische Spiralen.
Abb. 3: Kantenmittenspiralen
Die SpiralenlŠnge ist jeweils auf die SeitenlŠnge 1 des Šu§ersten n-Ecks bezogen.
Abb. 4.03: Dreieck
SpiralenlŠnge = 1
Abb. 4.04
SpiralenlŠnge =
Abb. 4.05
SpiralenlŠnge =
Dabei bedeutet den Goldenen Schnitt (Walser 2013)
Abb. 4.06
SpiralenlŠnge =
Abb. 4.07
SpiralenlŠnge etwa 3.732050814
Abb. 4.08
SpiralenlŠnge =
Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].
Abb. 4.09
SpiralenlŠnge etwa 8.290859360
Abb. 4.10
SpiralenlŠnge =
Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].
Abb. 4.11
SpiralenlŠnge etwa 12.34353760
Abb. 4.12
SpiralenlŠnge =
Zur wurzelmŠ§igen Berechnung der SpiralenlŠnge siehe [1].
Abb. 4.18
SpiralenlŠnge etwa 32.91152454
Bemerkung: Zur Technik der Farbgebung im rgb-System siehe [2].
Websites
[1] Hans Walser: Kettenwurzeln
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kettenwurzeln/Kettenwurzeln.htm
[2] Hans Walser: Farbkreis
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Farbkreis/Farbkreis.htm
Literatur
Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.