Hans Walser, [20230632]
Iteration Pythagoras
Iteration der Parametrisierungsformeln für pythagoreische Dreiecke.
Die Hoffnung auf ein Muster hat sich nicht erfüllt.
Wir setzen die Startwerte:
u[0] := 2.0:
v[0] := 1:
Dies sind die Parameter für das pythagoreische Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5. Genau genommen müsste u[0] := 2 sein. Der Dezimalpunkt dient dazu, die floating point arithmetic zu aktivieren, welche viel schneller arbeitet.
Nun berechnen wir:
a[0] := u[0]^2 - v[0]^2:
b[0] := 2*u[0]*v[0]:
c[0] := u[0]^2 + v[0]^2:
Dies sind die Seiten 3, 4, 5 des pythagoreischen Dreiecks. Und nun die Iteration:
u[n] := a[n-1]/c[n-1]:
v[n] := b[n-1]/c[n-1]:
a[n] := u[n]^2 - v[n]^2:
b[n] := 2*u[n]*v[n]:
c[n] := u[n]^2 + v[n]^2:
Wir verwenden also die normierten Katheten a[n-1] und b[n-1] (es wird auf die Hypotenusenlänge 1 normiert) als Parameter für das nachfolgende (pythagoreische) Dreieck. Da a[n-1] kleiner als b[n-1] sein kann, können auch negative «Seitenlängen» auftreten.
Wir zeichnen lediglich
die (auf die Länge 1 normierte) Hypotenuse, also die Strecke [0,0], [u[n],
v[n]].
Die Hoffnung war,
dass sich irgendein Muster oder ein Grenzwert abzeichnet. Dies ist nicht der
Fall (Abb. 1 und 2).
Abb. 1: Die
ersten 100 Schritte
Abb. 2:
Animation