Hans Walser, [20200109]
Invarianzbeweis fźr den Satz des Pythagoras
Invarianzbeweis unter Verwendung der Differentialrechnung
Aus ergibt sich . Die Abbildung 1 gibt eine Visualisierung dieses Sachverhaltes.
Abb. 1: Zuwachs beim Quadrat
Es ist:
(1)
Und nun kommt der schmutzige Trick von Newton: wir lassen das einfach weg. Es ist ăvon hšherer Ordnung kleinŇ. Somit ergibt sich ein Zuwachs . Es ist also:
(2)
Entsprechend ist:
(3)
Nun gehen wir zum rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a und b (Abb. 2).
Abb. 2: VerŠnderung der Ecke C
Wir verschieben die Ecke C auf dem Thaleskreis nach rechts zu . Dadurch werden die Kathete a kleiner und die Kathete b grš§er.
Da das gelbe und das kleine violette Dreieck Šhnlich sind (gleiche Winkel) und beide Dreiecke bei einer nur kleinen Verschiebung in etwa Šhnlich zum rechtwinkligen Dreieck ABC, haben wir:
(4)
Das Minuszeichen ergibt sich daraus, dass a kleiner wird, hingegen b grš§er.
Wenn die Verschiebung infinitesimal klein ist, gilt:
, also (5)
Wir setzen (5) in (3) ein und erhalten:
(6)
Die Summe ist also an jeder Stelle lokal und damit global konstant. Wir haben eine Invariante bei Verschiebung des Punktes C auf dem Thaleskreis.
Im Grenzfall ergibt sich fźr die Invariante der Wert .
Websites
Hans Walser: Invarianzbeweis fźr den Satz des Pythagoras
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/I/Invarianzbeweis_Pythagoras/Invarianzbeweis_Pythagoras.htm