Hans Walser, [20200119]

Iglu und Kardioide

1     Worum geht es?

Das Ziel ist, eine halbkugelfšrmige Kuppel mit mšglichst wŸrfelfšrmigen Bauelementen zu bauen.

Es erscheint eine Kurve, die mit der Kardioide verwandt ist.

2     Die Sicht von au§en

Die Abbildung 1 zeigt eine Halbkugel mit der Ÿblichen Parametrisierung mit einer 15¡-Rasterung der Meridiane und Breitenkreise.

Abb. 1: Halbkugel

Wir erkennen unten praktisch quadratische Elemente. Gegen den Pol zu werden die Elemente immer schmaler und immer deutlicher trapezfšrmig.

Die Abbildung 2 zeigt die Halbkugel mit einer konformen Parametrisierung (ãAbbildung durch kleinste QuadrateÒ).

Abb. 2: Quadrate

An den Meridianen hat sich nichts geŠndert, die Rasterung ist nach wie vor 15¡. Die Breitenkreise hingegen werden gegen den Pol zu immer dichter. Die Elemente sind annŠhernd quadratisch.

Die Abbildung 3 zeigt die Quadrate schachbrettfšrmig gefŠrbt.

Abb. 3: SchachbrettfŠrbung

Die Abbildung 4 zeigt die aufgeschnittene Au§enschale.

Abb. 4: Aufgeschnittene Au§enschale

3     Bauelemente

Die SeitenlŠnge der Quadrate ist proportional zum Kosinus der geografischen Breite.

Dies soll nun auch die dritte Dimension der Bauelemente sein. Die Kuppel wird also gegen den Pol zu immer dŸnner.

4     Bau

Die Abbildung 5 zeigt den Baubeginn. Wir erkennen die annŠhernd wŸrfelfšrmigen Bauteile.

Abb. 5: Baubeginn

Die Animation 1 zeigt den zonalen Aufbau.

 

Animation1.gif

Animation 1: Zonaler Aufbau

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die aufgeschnittene Kuppel in zwei verschiedenen Beleuchtungen.

Abb. 6: Aufgeschnittene Kuppel

Abb. 7: Andere Beleuchtung

Die Animation 2 zeigt den sektoriellen Aufbau.

 

Animation2.gif

Animation 2: Sektorieller Aufbau

Die Animation 3 zeigt den elementweisen Aufbau.

 

Animation3.gif

Animation3: Elementweiser Aufbau

Die Innenschale der Kuppel ist keine Halbkugel (Abb. 8). Sie hat oben eine Spitze.

Abb. 8: Innenschale

5     Profil der Innenschale

Im Beispiel der Abbildung 8 liegt das Profil der Innenschale auf der Kurve (Abb. 9) mit der Polardarstellung:

 

                                                                     (1)

 

 

 

Kartesisch:

 

                                             (2)

 

 

 

 

 

Der Ausdruck  ist die WŸrfelseite auf der geografischen Breite  bei einer 15¡-Rasterung der Meridiane. Diese wird vom Kugelradius (welcher 1 gewŠhlt wurde) subtrahiert.

Abb. 9: Profilkurve

Die Kurve sieht aus wie ein Kreis, ist aber keiner.

6     Kurvenschar

Die Kurve gehšrt zur Kurvenschar mit der Polargleichung:

 

                                                                                                   (3)

 

 

 

Die Abbildung 10 zeigt die Kurvenschar fŸr a von ­–1.5 bis +1.5 in Schritten von 0.1.

Abb. 10: Kurvenschar

Die Animation 4 zeigt dieselbe Kurvenschar.

 

Animation4.gif

Animation 4: Kurvenschar

FŸr a = 0 erhalten wir den Einheitskreis, fŸr a = 1 die Kardioide (Abb. 11). Beweis rechnerisch.

Abb. 11: Kardioide

Websites

 

Hans Walser: Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide2/Kardioide2.htm

 

Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

 

Hans Walser: Kardioide und regelmŠ§ige Vielecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide3/index.html

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve/Herzkurve.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve2/Herzkurve2.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve3/Herzkurve3.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve4/Herzkurve4.htm

 

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve5/Herzkurve5.htm

 

Hans Walser: Herzkurve und die Mšndchen des Hippokrates

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve_u_Hippokrates/Herzkurve_u_Hippokrates.htm

 

Hans Walser: Herzkurven

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurven/Herzkurven.htm