Hans Walser, [20210614]
Hyperkugel
Rekursion fźr das nd-Volumen der nd-Hyperkugel.
Fźr das Volumen Vn der n-dimensionalen Hyperkugel mit dem Radius r arbeiten wir mit dem Ansatz:
Vn(r) = an rn (1)
Wegen V1 = 2r (Doppelintervall von 0 – r bis 0 + r) ist:
a1 = 2 (2)
Es gilt die Rekursion:
(3)
Die Abbildung 1 zeigt n und an.
Abb.1: Koeffizienten
Die Koeffizienten an kšnnen explizit berechnet werden (ohne Beweis):
(4)
Dabei ist:
(5)
Fźr die OberflŠche Sn(r) gilt:
(6)
Die Abbildung 2 gibt n, Vn(r) und Sn(r).
Abb. 2: Dimension, Volumen und OberflŠche