Hans Walser, [20210614]

Hyperkugel

1   Worum geht es?

Rekursion fźr das nd-Volumen der nd-Hyperkugel.

2   Rekursion

Fźr das Volumen Vn der n-dimensionalen Hyperkugel mit dem Radius r arbeiten wir mit dem Ansatz:

 

                                                             Vn(r) = an  rn                                                        (1)

 

Wegen V1 = 2r (Doppelintervall von 0 – r bis 0 + r) ist:

 

                                                                  a1 = 2                                                             (2)

 

Es gilt die Rekursion:

 

                                                                                            (3)

 

 

 


 

Die Abbildung 1 zeigt n und an.

Abb.1: Koeffizienten

3   Explizit

Die Koeffizienten an kšnnen explizit berechnet werden (ohne Beweis):

 

                                                                                                                 (4)

 

 

 

 

Dabei ist:

 

                                                                                                   (5)

 

 

 

4   OberflŠche

Fźr die OberflŠche Sn(r) gilt:

 

                                                                                    (6)

 

 

 

5   †bersicht

Die Abbildung 2 gibt n, Vn(r) und Sn(r).

Abb. 2: Dimension, Volumen und OberflŠche