Hans Walser, [20180611a]

HŸhnergatter

1     Worum geht es?

Eine uralte, aber immer wieder zitierte (Friesen 2018, S. 171) Schulaufgabe ist der HŸhnerzaun vor einer Wand. Seine GesamtlŠnge ist gegeben, der Zaun soll rechteckig sein, an der Wand braucht es keinen Zaun. Die BodenflŠche soll maximal sein.

Die Lšsung ist das halbe Quadrat (isoperimetrisches Problem).

Wie sieht es nun aus, wenn das Gatter auch gegen oben gebaut werden soll, etwa als Schutzma§nahme gegen rŠuberische oder erkrankte Wildvšgel?

2     Die erweiterte Aufgabe

FŸr ein HŸhnergehege stehen insgesamt A = 54 m2 Drahtgitter zur VerfŸgung. Das Gehege soll auch nach oben abgegittert sein. Die Hšhe des Geheges ist h = 2 m. Das Gehege steht an einer Hauswand und soll einen rechteckigen Grundriss haben.

Die GrundrissflŠche B soll maximal werden.

3     Bearbeitung

Mit a und b bezeichnen wir die zur Hauswand parallele beziehungsweise rechtwinkligen Reckteckseiten des Grundrisses B.

Wegen A = 54 und h = 2 ist 0 ² a ² 27.

Zu optimieren ist die Zielfunktion:

 

                                                                                                                     (1)

 

 

unter der Nebenbedingung (GitterflŠche):

 

                                                                                                      (2)

 

 

3.1    Schulisches Vorgehen

Wegen A = 5 und h = 2 erhalten wir aus (2):

 

                                                                                                                        (3)

 

 

Eingesetzt in (1) ergibt:

                                                                      

                                                                                                               (4)

 

 

Die Abbildung 1 zeigt den relevanten Ausschnitt des Funktionsgraphen.

Abb. 1: Funktionsgraph

Diese Funktion hat fŸr 0 ² a ² 27 das Maximum in:

 

                                                                                                     (5)

 

 

FŸr b ergibt sich:

 

                                                                                                        (6)

 

 

Der Grundriss ist nach wie vor ein halbes Quadrat.

3.2    Allgemeine Lšsung

Wir definieren die Hilfsfunktion:

 

                       (7)

 

 

Durch Nullsetzen des Gradienten

 

                                                                                                                     (8)

 

 

erhalten wir:

 

                                                                                           (9)

 

 

 

 

Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem fŸr . FŸr a und b erhalten wir mit CAS die positiven Lšsungen:

 

                                                             (10)

 

 

Es ist also auch allgemein a = 2b.

 

Literatur

Friesen, Marita (2018): Visualisierungen im Mathematikunterricht. VerknŸpfung mit anderen Darstellungen und optimale Nutzung. MNU Journal -  Ausgabe 3.2018 – S. 170-175 – ISSN 0025-5866.