Hans Walser, [20110228a]

Herzkurve

1        Worum geht es

Ein Algorithmus zur Konstruktion des Eckenschwerpunktes von regelmŠ§igen Vielecken fŸhr zu einer Herzkurve. Es handelt sich dabei nicht um die Kardioide.

2        Eckenschwerpunkt eines n-Eckes

Die Abbildung 1 illustriert einen Algorithmus zur Konstruktion des Eckenschwerpunktes am Beispiel des regelmŠ§igen FŸnfecks. Das Verfahren funktioniert analog fŸr irgend ein Vieleck, es braucht nicht regelmŠ§ig zu sein.

Abb. 1: Eckenschwerpunkt

Wir beginnen mit der Ecke  und setzen . Dann sei  der Mittelpunkt der Strecke . Den Punkt  konstruieren wir so, dass er die Strecke  im VerhŠltnis 1:2 teilt. Das TeilverhŠltnis ist durch einen gelben Punkt angedeutet. Allgemein sei nun  derjenige Punkt, der die Strecke  im VerhŠltnis  teilt. Auf Grund der Hebelgesetze ist  der Schwerpunkt der Punkte , also der ersten j Punkte. Der Punkt  ist dann der Schwerpunkt S sŠmtlicher n Punkte.

3        Zwischenbemerkung

Dieses schrittweise Konstruieren des Schwerpunktes scheint etwas mŸhsam, vor allem, wenn man bedenkt, dass der rechnerische Weg Ÿber die Koordinatendurchschnitte auf Anhieb und unabhŠngig von der Eckenzahl funktioniert. Doch der Schein trŸgt: Bei der Durchschnittsberechnung mŸssen wir zunŠchst die Zahlen addieren. Doch niemand kann zum Beispiel fŸnf Zahlen auf einen Streich addieren. Der tatsŠchliche Rechenweg geht etwa so:

Wir addieren zunŠchst zwei Zahlern, zur Summe davon die dritte Zahl und so weiter. Das entspricht genau unserem Konstruktionsalgorithmus.

4        Beispiele

Die Abbildung 2 zeigt die Konstruktion fŸr regelmŠ§ige Vielecke mit den Eckenzahlen .  Der Schwerpunkt ist natŸrlich der Mittelpunkt. Ohne die SchwerpunktŸberlegung wŠre es aber nicht direkt einsehbar, dass es zum Beispiel beim Quadrat mit den VerhŠltnissen so schšn aufgeht.

                

Abb. 2: Beispiele

Die Abbildung 3 zeigt das regelmŠ§ige 16-Eck, die Abbildung 4 das 32-Eck.

Abb. 3: 16-Eck

Abb. 4: 32-Eck

Im Lichtraum zeigt sich eine halbe Herzkurve. Was fŸr eine Kurve ist das?

5        Schwerpunkt eines Kreisbogens

FŸr  ergibt sich aus den regelmŠ§igen Vielecken als Grenzfigur der Kreis. Da die magenta Punkte jeweils Schwerpunkte der ersten Ecken dies Vieleckes sind, ergeben sich die Punkte der Herzkurve als Schwerpunkte von Kreisbšgen.

Im folgenden arbeiten wir im Einheitskreis.

Wir berechnen den Ortsvektor  des Schwerpunktes des Kreisbogens:

Dieser Bogen hat die LŠnge T. FŸr den Bogenschwerpunkt  muss gelten:

Dabei ist das Bogenelement  und wegen  ist . FŸr das Integral erhalten wir:

Somit ist:

Das lŠsst sich noch etwas umformen, um eine schšne Polarform zu erhalten. Mit der Substitution  erhalten wir:

Wegen  ist .

6        Die Herzkurve

Die halbe Herzkurve wird also beschrieben durch:

Die Abbildung 5 zeigt das 32-Eck der Abbildung 4 zusammen mit der halben Herzkurve als Grenzkurve. Die Approximation ist schon recht gut.

Abb. 5: Halbe Herzkurve

FŸr  ergibt sich die ganze Herzkurve. In der Abbildung 6 ist im Einheitskreis in rot die ganze Herzkurve eingezeichnet, zusŠtzlich in grŸn die Kardioide. Offensichtlich ist unsere Herzkurve nicht die Kardioide.

Abb. 6: Herzkurve und Kardioide

Die Abbildung 7 zeigt das Herz.

Abb. 7: Rotes Herz