Hans Walser, [20181209]
Halbkreise im Rechteck
Eine Konstruktion mit sich berźhrenden Halbkreisen fźhrt zu Rechtecken mit Rang und Namen. Der Grenzfall liefert eine spezielle Folge von pythagoreischen Dreiecken.
†ber der linken Seite eines Rechteckes zeichnen wir einen Thaleskreis. †ber der rechten Seite zeichnen wir n Halbkreise, die sich nachbarlich berźhren und die auch den Thaleskreis źber der linken Seite berźhren.
Die Abbildung 1 zeigt die Situation fźr n = 6.
Abb. 1: Sechs blaue Halbkreise
Wie muss das Rechteck in AbhŠngigkeit von n dimensioniert sein?
Die Lšsung ist ein Quadrat (Abb. 2.1).
Abb. 2.1: Ein blauer Halbkreis. Quadrat
Bei zwei blauen Halbkreisen ist ein Rechteck im DIN-SeitenverhŠltnis erforderlich (Abb. 2.2). †ber das DIN-Format siehe Walser(2013b). Weblink[1].
Abb. 2.2: DIN-Rechteck
Bei drei blauen Halbkreisen ist ein Rechteck im SeitenverhŠltnis des Goldenen Schnittes erforderlich (Abb. 2.3).
Die Radien der blauen Kreise sind ebenfalls im VerhŠltnis des Goldenen Schnittes, wie durch das Pentagramm illustriert wird.
†ber den Goldenen Schnitt siehe Walser(2013a). Weblink [2] .
Abb. 2.3: Goldenes Rechteck. Pentagramm
Bei vier blauen Halbkreisen ist ein Rechteck erforderlich dessen Diagonalen sich unter einem Winkel von 60ˇ schneiden (Abb. 2.4). Wir kšnnen daher zwei gleichseitige Dreiecke einpassen. Die Radien der blauen Halbkreise stehen im VerhŠltnis 2:1.
Abb. 2.4: Gleichseitiges Dreieck
Bei fźnf blauen Halbkreisen (Abb. 2.5) habe ich keine schšne elementargeometrische Eigenschaft gefunden.
Abb. 2.5: Fźnf blaue Halbkreise
Bei sechs blauen Halbkreisen (Abb. 1) finden wir nach einigem Suchen ein DIN-Rechteck (Abb. 2.6).
Abb. 2.6: Nochmals DIN-Rechteck
Es ist sinnvoll, mit einer Fallunterscheidung bezźglich der ParitŠt der Anzahl n der blauen Halbkreise zu arbeiten.
Es sei n = 2m. Wir verwenden die Ma§e und Bezeichnungen der Abbildung 3 (fźr den partikulŠren Fall m = 3).
Abb. 3: Ma§e und Bezeichnungen
Gesucht sind die m + 1 Werte . ZunŠchst haben wir die Bedingung:
(1)
Im gelb eingezeichneten Dreieck ergibt sich exemplarisch die Bedingung:
(2)
Allgemein erhalten wir m Bedingungen der Form:
(3)
Mit (1) und (3) haben wir m + 1 Bedingungen fźr die gesuchten m + 1 Unbekannten. Wegen den Quadraten in (3) fźhrt das zu Gleichungen hšheren Grades.
Es sei n = 2m – 1. Statt der Bedingung (1) erhalten wir die Bedingung:
(4)
Die Bedingung (3) bleibt unverŠndert.
Im Grenzfall von unendlich vielen blauen Halbkreisen ist x = 1 (Abb. 4). Das vereinfacht die Sache. Der erste Radius lŠsst sich ăvon HandŇ ausrechnen. Es ist:
(5)
Das gelb eingezeichnete rechtwinklige Dreieck ist das ăLehrerdreieckŇ mit dem SeitenverhŠltnis 4:3:5.
Abb.4: Grenzfall. Lehrerdreieck
Die ăDreiecksbedingungŇ (3) kann jetzt fźr das Dreieck k + 1 in der Form geschrieben werden:
(6)
Dies lŠsst sich umformen zur Rekursion:
(7)
Die Radien sind also wurzelfrei und damit rational. Die Tabelle 1 gibt die ersten 10 Radien.
k |
|
|
bereinigt |
1 |
1/4 |
|
|
2 |
1/12 |
1/3 |
1/3 |
3 |
1/24 |
1/2 |
2/4 |
4 |
1/40 |
3/5 |
3/5 |
5 |
1/60 |
2/3 |
4/6 |
6 |
1/84 |
5/7 |
5/7 |
7 |
1/112 |
3/4 |
6/8 |
8 |
1/144 |
7/9 |
7/9 |
9 |
1/180 |
4/5 |
8/10 |
10 |
1/220 |
9/11 |
9/11 |
Tab. 1: Radien. RadienverhŠltnisse
Interessant sind auch die RadienverhŠltnisse. Damit lŠsst sich die Rekursion viel einfacher schreiben:
(8)
Das erste (in Abb. 4 gelb eingezeichnete) rechtwinklige Dreieck ist das pythagoreische Dreieck mit dem SeitenverhŠltnis 3:4:5 (im negativen Umlaufssinn).
Auch die weiteren Dreiecke sind pythagoreisch (Tab. 2, negativer Umlaufssinn). Es sind die echten LŠngen als rationale Zahlen wie auch die erweiterten LŠngen angegeben.
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1/4 |
1 |
3/4 |
5/4 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1/12 |
1 |
5/12 |
13/12 |
5 |
12 |
13 |
3 |
1/24 |
1 |
7/24 |
25/24 |
7 |
24 |
25 |
4 |
1/40 |
1 |
9/40 |
41/40 |
9 |
40 |
41 |
5 |
1/60 |
1 |
11/60 |
61/60 |
11 |
60 |
61 |
6 |
1/84 |
1 |
13/84 |
85/84 |
13 |
84 |
85 |
7 |
1/112 |
1 |
15/112 |
113/112 |
15 |
112 |
113 |
8 |
1/144 |
1 |
17/144 |
145/144 |
17 |
144 |
145 |
9 |
1/180 |
1 |
19/180 |
181/180 |
19 |
180 |
181 |
10 |
1/220 |
1 |
21/220 |
221/220 |
21 |
220 |
221 |
Tab. 2: Pythagoreische Dreiecke
Wir erhalten die pythagoreischen Dreiecke, deren Hypotenuse um 1 grš§er ist als die lŠngere der beiden Katheten. Die Folge der kźrzeren Katheten sind die ungeraden Zahlen.
Literatur
Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und
Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am
Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Weblinks
[1] Hans Walser: Kreise im silbernen Rechteck
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreise_i_s_R/Kreise_i_s_R.htm
[2] Hans Walser: Kreispackung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreispackung/Kreispackung.htm