1 Worum es geht

Es werden die Diagonalen-Schnittwinkel im verallgemeinerten Goldenen Rechteck untersucht.

2 Das Goldene Rechteck

Im Goldenen Rechteck bleibt nach Abschneiden eines Quadrates ein Restrechteck übrig, das zum Ausgangsrechteck ähnlich ist.

Abb. 1: Goldenes Rechteck

Mit den Bezeichnungen der Abbildung 1 ergibt sich:

Somit: , also .

Statt einem Quadrat schneiden wir n Quadrate in einer Reihe ab. Die Abbildung 2 illustriert die Situation für den Fall n = 3.

Abb. 2: Drei Quadrate abschneiden

Wir erhalten:

Daraus ergibt sich und:

Für n = 0 ergibt sich das Quadrat, für n = 1 das Goldene Rechteck, für n = 2 das so genannte Silberne Rechteck (Abb. 3).

Abb. 3: Silbernes Rechteck

Das Rechteck für n = 3 (Abb. 2) wird gelegentlich als bronzenes Rechteck bezeichnet.

Das Quadrat (n = 0) hat den Diagonalen-Schnittwinkel 90° (Abb. 4).

Abb. 4: Orthogonale Diagonalen

Das Goldene Rechteck (n = 1) hat den Diagonalen-Schnittwinkel 63.434948822922°, eine nicht sehr ansprechende Zahl (Abb. 5).

Abb. 5: Unschöner Schnittwinkel

Für das Silberne Rechteck (n = 2) erhalten wir den „schönen“ Diagonalen-Schnittwinkel 45° (Abb. 6).

Abb. 6: Schnittwinkel 45°

Für das bronzene Rechteck (n = 3) ergibt sich 33.6900675259793° (Abb. 7).

Abb. 7: Kein schöner Schnittwinkel

Lassen sich diese Schnittwinkel einheitlich darstellen?

Den Schnittwinkel bezeichnen wir mit . Da die Rechtecke die Länge

und die Höhe 1 haben, ergibt sich:

Wegen

erhalten wir mit einiger Rechnung:

Es ist also:

Um eine Division durch Null (bei n = 0) zu vermeiden, schreiben wir die Formel noch etwas um:

Die Tabelle gibt die Werte des Diagonalen-Schnittwinkels für n von 0 bis 20.