Hans Walser, [20180102a]

Goldener Schnitt im Kreuz

1     Worum es geht

Es werden zwei Kreuzfiguren vorgestellt welche zum Goldenen Schnitt fźhren.

2     Fźnf Quadrate

2.1    Der Goldene Schnitt im Kreuz

Das Kreuz in der Abbildung 1 ist aus fźnf Quadraten zusammengesetzt. Mit Umkreis und Diagonale erhalten wir den Goldenen Schnitt. In der Abbildung 1 ist der Major rot, der Minor blau eingezeichnet.

Abb. 1: Der Goldene Schnitt im Kreuz

2.2    Beweis

Der Beweis ergibt sich aus der Abbildung 2. Es handelt sich  um eine der klassischen Konstruktionen des Goldenen Schnittes.

Abb. 2: Beweisfigur

2.3    Variante mit Inkreis

Die Abbildung 3 zeigt eine zeichnerische Variante der Abbildung 1.

Abb.3: Variante mit Inkreis

2.4    Mehr

Wir kšnnen noch einen draufgeben (Abb. 4).

Abb. 4: Noch mehr Goldener Schnitt

Dies fźhrt zu einer Unterteilung in Quadrate (rot) und Goldene Rechtecke (gelb) gemŠ§ (Abb. 5).

Abb. 5: Unterteilung

Die noch wei§en Flecken kšnnen wir mit Hilfe von zusŠtzlichen Diagonalen unterteilen (Abb. 6).

Abb. 6: Verfeinerung der Unterteilung

Natźrlich ist es stšrend, dass es Stellen gibt, wo zwei (gelbe) Goldene Rechtecke aneinandersto§en. Wie lŠsst sich dieses Problem beheben?

3     Zwšlf Quadrate

3.1    Der Goldene Schnitt im Kreuz

Die Abbildung 7 zeigt ein Kreuz mit 12 Quadraten. Wiederum finden wir mit dem Umkreis den Goldenen Schnitt.

Abb. 7: Zwšlf Quadrate

3.2    Beweis

Es handelt sich um dieselbe klassische Konstruktion wie im ersten Beispiel (Abb. 8).

Abb. 8: Beweisfigur

3.3    Variante

Die Abbildung 9 zeigt eine Variante mit einer Art Inkreis.

Abb. 9: Variante

4     13 Quadrate

Abb. 10: 13 Quadrate

Das Kreuz der Abbildung 10 ist aus 13 Quadraten zusammengesetzt. Welches TeilverhŠltnis haben wir? Warum?