Hans Walser, [20181208]
Goldene FlŠchenaufteilung
1 Worum geht es?
Das TeilverhŠltnis des Goldenen Schnittes wird in der Regel eindimensional, also als TeilverhŠltnis von Strecken, gesehen (Abb. 1). †ber den Goldenen Schnitt siehe Walser (2013).
Abb. 1: Eindimensional
Es werden einige FlŠchenverhŠltnisse im Goldenen Schnitts vorgestellt.
2 Goldenes Rechteck
Im Goldenen Rechteck haben wir im Prinzip immer noch eine eindimensionale Deckweise. Wir haben eine dicke Strecke.
Abb. 2: Goldenes Rechteck
3 Quadrate
Auch das unterteilte Quadrat der Abbildung 3 gehšrt noch der eindimensionalen Denkweise an.
Abb. 3: Quadrat
Mit Hilfe des Kathetensatzes kommen wir zu zwei Quadraten im FlŠchenverhŠltnis des Goldenen Schnittes (Abb. 4).
Abb. 4: Kathetensatz
Die Abbildung 5 zeigt die beiden Quadrate mit dem FlŠchenverhŠltnis des Goldenen Schnittes.
Abb. 5: QuadratflŠchen im Goldenen Schnitt
Wir vergleichen ein Quadrat mit einer quadratischen RahmenflŠche (Abb. 6).
Abb. 6: FlŠchenverhŠltnisse im Goldenen Schnitt
Die Abbildung 7 zeigt ein FlŠchenverhŠltnis und ein LŠngenverhŠltnis.
Abb. 7: FlŠchen- und LŠngenverhŠltnis
4 RegelmŠ§iges FŸnfeck
4.1 Ganze FŸnfecke
Abb. 8.1: FŸnfeck
Abb. 8.2: FŸnfeck
Abb. 8.3: FŸnfeck
Abb. 8.4: FŸnfeck
Abb. 8.5: FŸnfeck
Abb. 8.6: FŸnfeck
4.2 FŸnfeckteile
Abb. 9.1: Im FŸnfeck
Abb. 9.2: Im FŸnfeck
Abb. 9.3: Im FŸnfeck
Abb. 9.4: Im FŸnfeck
Abb. 9.5: Im FŸnfeck
Abb. 9.6: Im FŸnfeck
Abb. 9.7: Im FŸnfeck
Abb. 9.8: Im FŸnfeck
Abb. 9.9: Im FŸnfeck
Abb. 9.10: Dart and kite
Abb. 9.11: Im FŸnfeck
Abb. 9.12: Im FŸnfeck
Abb. 9.13: Im FŸnfeck
5 Dreieck
Abb. 10.1: Billiglšsung (Warum?)
Abb. 10.2: Scheinbarer Widerspruch
Abb. 10.3: Kombination
Abb. 10.4: Der Dicke oben
6 Kreis
Im Beispiel der Abbildung 11.1 haben wir im Prinzip nur ein LŠngenverhŠltnis. Wer eine Kugel sieht, ist selber schuld.
Abb. 11.1: Im Prinzip ein LŠngenverhŠltnis
Im Beispiel der Abbildung 11.1 haben wir ein BogenlŠngenverhŠltnis (Phyllotaxis).
Abb. 11.2: BogenverhŠltnis im Goldenen Schnitt (Phyllotaxis)
Das Beispiel der Abbildung 11.3 ist ein echtes FlŠchenverhŠltnis. Es ist nur mit Methoden der numerischen Mathematik erfassbar.
Abb. 11.3: FlŠchenverhŠltnis
7 KugeloberflŠche
Die Abbildung 12.1 zeigt eine Sektorlšsung. Im Prinzip haben wir ein BogenverhŠltnis wie bei der Abbildung 11.2.
Abb. 12.1: Sektoren auf der KugelobeflŠche
Die Abbildung 12.2 zeigt eine Zonenlšsung. Auch hier haben wir es mit einem LŠngenverhŠltnis zu tun. Das FlŠchenverhŠltnis auf der KugeloberflŠche entspricht dem HšhenverhŠltnis. Dies ist ein erstaunlicher Sachverhalt, der aber schon Archimedes bekannt war.
Abb. 12.2: Zonen im Goldenen FlŠchenverhŠltnis
Literatur
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.