Hans Walser, [20110926a]
Gleichdick mit Kartoffeln
Anregung: J. R., K.-L.
Mit recht allgemeinen geometrischen Vorgaben kann mit Hilfe von Evolventen ein Gleichdick konstruiert werden.
Wir beginnen mit drei konvexen Gebieten (den ãKartoffelnÒ des Titels). Die RŠnder bezeichnen wir mit .
Drei konvexe Gebiete
Dazu zeichnen wir drei Tangenten und bezeichnen die BerŸhrungspunkte gemŠ§ der folgenden Abbildung.
Tangenten
Wir bezeichnen die Tangentenabschnitte mit , Indizes modulo 3. Weiter sei die BogenlŠnge auf der Randkurve .
Nun wŠhlen wir auf der Tangente einen Startpunkt , der von den Abstand r hat, und wŠlzen die Tangente auf ab, bis sie in die Position der Tangente zu liegen kommt. Die Bahnkurve des Punktes ist eine Evolvente, den Endpunkt des Evolventenbogens bezeichnen wir mit . Dieser Endpunkt hat von den Abstand .
In den folgenden Abbildungen sind die Evolventenbšgen nur skizziert und nicht genau gezeichnet. Die Abbildungen dienen zur Illustration der GedankengŠnge.
Erster Evolventenbogen
Nun wŠlzen wir die Tangente auf ab, bis sie auf zu liegen kommt. Der Punkt beschreibt einen Evolventenbogen mit dem Endpunkt . FŸr die AbstŠnde erhalten wir zunŠchst und weiter:
Durch das AbwŠlzen wird der Tangentenabschnitt verkŸrzt.
Zweiter Evolventenbogen
Nun wird auf abgewŠlzt, dann wieder auf , dann auf und schlie§lich auf . Die BogenlŠngen auf den RŠndern der konvexen Gebiete werden abwechslungsweise addiert und subtrahiert. Wir erhalten die Figur der folgenden Abbildung.
Sechs Evolventenbšgen
Wir vermuten, dass sich die Figur schlie§t. Dies kann mit folgender Rundrechnung nachgewiesen werden:
Somit ist , wir haben eine Schlie§ungsfigur.
Es ist noch zu zeigen, dass es sich um eine Gleichdick handelt. Da die Evolventen die Orthogonaltrajektorien zu den Tangentenscharen sind, haben wir in den Punkten rechte Winkel. Weiter erhalten wir:
Wir haben also hier Ÿberall gleiche Durchmesser. Nun noch exemplarisch ein allgemeiner Tangentendurchmesser.
Allgemeiner Tangentendurchmesser
Wir bezeichnen die BogenlŠnge . Damit wird:
Was auf der einen Seite dazu kommt, geht auf der anderen weg. Wir haben ein Gleichdick.
Statt mit drei konvexen Gebieten kšnnen wir mit einer beliebigen ungeraden Anzahl von konvexen Gebieten starten. Dabei mŸssen wir die Tangenten ãsternfšrmigÒ setzen. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel fŸr fŸnf konvexe Gebiete.
FŸnf konvexe Gebiete