Hans Walser, [20081107a], [20131229c]

1 Gewinnstrategie?

Aufgabe von M. V., D.

Spieler A und B spielen endlich oft hintereinander ein Nullsummenspiel, das für beide fair ist (z. B. Würfeln, A gewinnt bei gerade, B bei ungerade). Beide haben endlich viel Kapital zur Verfügung. Die Regeln für die Auszahlung kann verändert werden, jedoch sind Wahrscheinlichkeit und Auszahlungsquote immer aneinander gekoppelt, sodass das Spiel immer für beide ein faires Nullsummenspiel bleibt (z. B. A setzt Fr. 1.- und gewinnt von B Fr. 6.-, falls die 6 gewürfelt wird, in allen anderen Fällen gewinnt B von A Fr. 1.-).

 Ist es Spieler A möglich, die Spielserie mit Wahrscheinlichkeit 1 mit Gewinn abzuschließen, falls er

- vor jedem Spiel die Wahl über Wahrscheinlichkeit/Auszahlung treffen kann?

- vor jedem Spiel die Höhe des Einsatzes bestimmen kann?

- den Zeitpunkt zur Beendigung der Spielserie bestimmen kann?

Bearbeitung

 Simples Beispiel

A entscheidet sich für folgendes:

Beide zahlen gleichen Einsatz. Bei gerade gewinnt A die Summe der Einsätze, also den doppelten Einsatz, bei ungerade gewinnt B die Summe der Einsätze.

A startet mit Einsatz 1, und fährt dann folgende Strategie:

Falls er gewinnt, bricht er das Spiel ab. Falls er verliert, spielt er mit verdoppeltem Einsatz weiter.

Spielverlauf:

Erster Spielschritt:

A gewinnt, Reingewinn 1, Spielabbruch

A verliert, Verlust 1, zweites Spiel mit Einsatz 2.

Zweiter Spielschritt:

A gewinnt, Gewinn 4, Summe der Einsätze = 1 + 2 = 3, Reingewinn 1

A verliert, Verlust 2, Totalverlust 1 + 2 = 3, drittes Spiel mit Einsatz 4.

Dritter Spielschritt:

A gewinnt, Gewinn 8, Summe der Einsätze 1 + 2 + 4 = 7, Reingewinn 1

A verliert, Verlust 4, Totalverlust 1 + 2 + 4 = 7, viertes Spiel mit Einsatz 8.

Und so weiter. Bei Spielabbruch hat A einen Reingewinn 1.

Modifikation

A modifiziert nach Gutdünken jeden Spielschritt, soll aber ein Nullsummenspiel sein. Wenn er also gewinnt, hat er eine Auszahlung, die größer ist als sein Einsatz im betreffenden Spielschritt.

Dann fährt er folgende Strategie:

Bei Gewinnen eines Spielschrittes bricht er ab.

Bei Verlieren eines Spielschrittes spielt er weiter und setzt den folgenden Spielschritt so an (Regeln und Einsatz), dass seine Auszahlung im Falles des Gewinnens größer ist als die Summe aller bisher gezahlten Einsätze (inklusive Einsatz im aktuellen Spiel).

Dann hat er bei Spielabbruch einen positiven Reingewinn.

Warum das nicht funktioniert

Das Problem ist die Endlichkeit des A zur Verfügung stehenden Kapitals. Beim simplen Spiel verdoppeln sich die Einsätze, wir haben also ein exponentielles Wachstum, das bald einmal die Kapitalgrenze von A überschreitet. Dann muss er aufhören und ist „ausgebrannt“, wie das die Spielsüchtigen in klarer Einsicht ihres Risikos formulieren.

Beim modifizierten Beispiel werden die Einsätze ja auch immer größer (die bisherigen Verluste müssen übertroffen werden), so dass es auch Grenzen gibt.

Erwartungswert

Exemplarische Berechung nach dem simplen Beispiel. Wir nehmen an, A habe ein Startkapital 15. Merkwürdigerweise genügt für B ein Startkapital 1.

Die Abbildung zeigt die möglichen Spielverläufe bis Spielabbruch.

Spielverlauf

Tabellarische Darstellung der Spielverlaufsmöglichkeiten:

Spiel- schritt	Spiel-verlauf	Wahr-scheinlich-keit	Posi-tion von A	Einsatz	Kapi-tal von A	Rein-gewinn von A	Kapi-tal von B	Rein-gewinn von B
	Start				15		1
1				1 + 1	14		0
	A gewinnt				16	+1	0	–1
	A verliert				14	–1	2	+2
2				2 + 2	12		0
	A gewinnt				16	+1	0	–1
	A verliert				12	–3	4	+3
3				4 + 4	8		0
	A gewinnt				16	+1	0	–1
	A verliert				8	-7	8	+7
4				8 + 8	0		0
	A gewinnt				16	+1	0	–1
	A verliert				0	–15	16	+15

In den Positionen , , und verfügt A Spielabbruch, er hat dann einen Reingewinn +1.

In der Position ist A ausgebrannt, das Spiel muss abgebrochen werden, A hat einen Totalverlust 15.

Gewinnerwartungen:

Das Spiel ist also fair, obwohl A scheinbar einen Vorteil hat, da er den Spielabbruch verfügen kann.