Hans Walser, [20140122]

Gerade im Viereck

1     Worum geht es

In einem Viereck liegen der Diagonalen-Schnittpunkt, der Eckenschwerpunkt und der FlŠchenschwerpunkt auf einer Geraden (Seebach, 1994). Es wird eine allgemeine Eigenschaft dieser Geraden gezeigt.

2     Die Schwerpunkte

2.1    Eckenschwerpunkt

Die Abbildung 1 zeigt eine Konstruktion des Eckenschwerpunktes.

Abb.1: Eckenschwerpunkt

Der Eckenschwerpunkt ist der Mittelpunkt des Kantenmittenparallelogramms. Die Seiten dieses Parallelogramms sind parallel zu den Viereckdiagonalen (StrahlensŠtze).

2.2    FlŠchenschwerpunkt

Die Abbildung 2 zeigt eine Konstruktion des FlŠchenschwerpunktes. Wir dritteln die Kanten des Viereckes und ergŠnzen zu einem Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Viereckdiagonalen sind (StrahlensŠtze). Der Mittelpunkt dieses Parallelogramms ist der FlŠchenschwerpunkt.

Abb. 2: FlŠchenschwerpunkt

2.3    Die Gerade

Die Abbildung 3 zeigt die beiden Schwerpunkte und den Diagonalen-Schnittpunkt. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.

Abb. 3: Drei Punkte auf einer Geraden

3     Verallgemeinerung

Die bisherigen Konstruktionen legen nahe, wie folgt vorzugehen. Wir unterteilen die Viereckseiten im VerhŠltnis , ergŠnzen zu einem Parallelogramm, dessen Seiten parallel zu den Viereckdiagonalen sind (StrahlensŠtze), und nehmen den Mittelpunkt dieses Parallelogramms. Die Abbildung 4 zeigt einige Konstruktionen dieser Art, die Viereckkanten sind in Sechstel aufgeteilt.

Abb. 4: Parallelogramme

Die Mittelpunkte der Parallelogramme liegen offenbar auf einer Geraden.

4     Raumgeometrische †berlegung

Wir kšnnen die Figur rŠumlich sehen, die roten Mittelpunkte liegen auf der Schnittgeraden der beiden durch Niveaulinien angegebenen blauen Ebenen. Wir sehen in ein Loch, das die Form einer umgekehrten schiefen Pyramide hat (Abb. 5).

Abb. 5: Pyramidenloch

 

5     Rechnerischer Beweis

FŸr den Beweis verwenden wir ein schiefes u,v-Koordinatensystem mit den Diagonalen des Vierecks als Achsen und dem Diagonalen-Schnittpunkt als Ursprung (Abb. 6).

Abb. 6: Beweisdisposition

In diesem Koordinatensystem kšnnen die Eckpunkte Viereckes ABCD wie folgt beschrieben werden: , , , .

Aus dem TeilverhŠltnis  bilden wir den Parameter . FŸr die Seitengeraden des Parallelogramms PQRS ergeben sich damit die Gleichungen:

 

 

 

Daraus erhalten wir fŸr die Eckpunkte des Parallelogramms PQRS die Koordinaten:

 

FŸr den Mittelpunkt Z des Parallelogramms PQRS ergibt sich schlie§lich:

 

Dieser Punkt beschreibt in AbhŠngigkeit von t eine Gerade durch den Ursprung mit dem Richtungsvektor (der Richtungsvektor bezieht sich natŸrlich auf das schiefe u,v-Koordinatensystem):

 

 

Die Richtung ist also durch die Differenzen der Diagonalen-Abschnitte definiert. Der Richtungsvektor ist genau dann von null verschieden, wenn das Viereck nicht punktsymmetrisch ist.

Spezielle Punkte:

:  Diagonalen-Schnittpunkt

:  Eckenschwerpunkt

:  FlŠchenschwerpunkt

Ich frage mich, ob es mit dem zu t = 1 gehšrenden Punkt auch eine spezielle Bewandtnis hat.

 

Literatur

Seebach, Karl (1994): Nochmals Viereckschwerpunkte. DdM, Didaktik der Mathematik, 22. Jahrgang, Heft 4, 309-315.