Hans Walser, [20200202]
Geometrische Reihe
Illustration der geometrischen Reihe
(1)
fŸr n ³ 3.
Wir illustrieren das Vorgehen am Beispiel n = 5, also fŸr die Beziehung:
(2)
Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen n-Eck (Abb. 1.1).
Abb. 1.1: RegelmŠ§iges n-Eck
Dann zeichnen wir ein zweites, konzentrisches regelmŠ§iges n-Eck, welches gegenŸber dem ersten um den LŠngenfaktor verkleinert ist, und zwar so, dass seine verlŠngerten Seiten durch die Ecken des ersten n-Eckes verlaufen (Abb. 1.2). Konstruktiv geht das zum Beispiel mit den Inkreisen der beiden n-Ecke und den Tangenten von den Ecken des Šu§eren n-Ecks daran.
Abb. 1.2: Verkleinertes n-Eck
Das innere regelmŠ§ige n-Eck hat gegenŸber dem Šu§eren den relativen FlŠcheninhalt . Die au§enliegenden Dreiecke in der Abbildung 1.2 haben auch je diesen FlŠcheninhalt.
Bemerkung: Diese Dreiecke sind nicht gleichschenklig, also keine so genannten Goldenen Dreiecke (Walser 2013). Das scheint nur so.
Nun fŠrben wir diese Dreiecke individuell (Abb. 1.3). Das rote Dreieck hat also den relativen FlŠcheninhalt .
Abb. 1.3: FŠrbung
Nun fŸgen wir in das wei§e Loch eine um den LŠngenfaktor verkleinerte und geeignet gedrehte Kopie der Gesamtfigur ein (Abb. 1.4). Wir sehen, dass Spiralen entstehen.
Abb.1.4: Verkleinerte Kopie im Zentrum
Das kleine rote Dreieck hat den relativen FlŠcheninhalt . Die beiden roten Dreiecke zusammen haben den relativen FlŠcheninhalt . Wir sehen den Anfang der Reihe (1).
Wenn wir so weiterfahren, erhalten wir die Figur der Abbildung 1.5.
Abb. 1.5: Grenzfigur
Wir haben n Spiralen mit je dem relativen FlŠcheninhalt der linken Seite von (1). Damit ist (1) illustriert.
Im Folgenden Animationen fŸr n = 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Animation 3
Animation
4
Animation
5
Animation
6
Animation
7
Animation 8
Websites
Hans Walser: Geometrische Reihe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe2/Geom_Reihe2.htm
Hans Walser: Geometrische Reihe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe3/Geom_Reihe3.htm
Hans Walser: Geometrische Reihe
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geom_Reihe4/Geom_Reihe4.htm
Literatur
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.