Hans Walser, [20170219]
Geometrische Folgen mit Kreisen
1 Worum geht es?
Es werden zwei Beispiele von Kreisfolgen besprochen, deren Radien im Sinne einer geometrischen Folge abnehmen.
Beweise rechnerisch.
2 Halbieren
Wir beginnen mit dem Einheitskreis und halbieren sukzessive die Radien (Abb. 1).
Abb. 1: Halbieren der Radien
Die Kreise kšnnen linear aneinandergereiht werden (Abb. 2).
Abb. 2: Reihe
Die Reihe ab dem zweiten Glied passt in einen Kreis der Grš§e des ersten Kreises (Abb. 3).
Abb. 3: Einpassen
Die Abbildung 4 zeigt eine symmetrische Darstellung der Situation.
Abb. 4: Symmetrische Darstellung
Die Kreisfiguren kšnnen so angeordnet werden, dass die zweitgrš§ten Kreise sich berźhren (Abb. 5).
Abb. 5: Die zweitgrš§ten Kreise berźhren sich
Die Figur lŠsst sich in ein Rechteck einpassen (Abb. 6).
Abb. 6: Einpassen ins Rechteck
Dieses Rechteck setzt sich aus zwei im Querformat aneinandergefźgten Rechtecke im DIN-Format zusammen (Abb. 7). Die Diagonalen der DIN-Rechtecke schneiden sich in den Berźhrungspunkten der zweitgrš§ten Kreise. Zum DIN-Format siehe (Walser, 2013a).
Abb. 7: Link zum DIN-Format
Umgekehrt kšnnen zwei Figuren der Abbildung 5 in ein gro§es DIN-Rechteck eingepackt werden (Abb. 8).
Abb. 8: Nochmals Link zum DIN-Format
3 Goldener Schnitt
Es sei (Goldner Schnitt, siehe Walser, 2013b):
(1)
Wir arbeiten nun mit einer Folge von Kreisen mit den Radien:
(2)
Die Abbildung 9 zeigt die Kreise.
Abb. 9: Abnahme im Goldenen Schnitt
Die Kreise kšnnen linear angeordnet werden (Abb. 10).
Abb. 10: Reihe
Die Reihe ab dem dritten Glied passt in einen Kreis der Grš§e des ersten Kreises (Abb. 11).
Abb. 11: Einpassen
Die Abbildung 12 zeigt eine symmetrische Darstellung.
Abb. 12: Symmetrische Darstellung
Literatur
Walser, Hans (2013a): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.
Walser, Hans (6. Auflage). (2013b). Der Goldene Schnitt. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.