Hans Walser, [20120719]

Ganzzahlige Vierecke

1        Worum geht es?

Gefragt ist nach Vierecken mit ganzzahligen SeitenlŠngen, bei denen auch beide Diagonalen ganzzahlige LŠngen haben.

Bei Quadraten ist das nicht mšglich, da  irrational.

2        Parallelogramme

SeitenlŠngen a und b mit  und DiagonalenlŠngen e und f mit . Der Kosinussatz liefert die Bedingung:

Weiter muss:

Gesucht sind ganzzahlige Lšsungen.

Beispiel:

Beispiel

Liste:

 

a

b

e

f

Kommentar

4

3

5

5

Rechteck

5

5

8

6

Rhombus

7

4

9

7

 

7

6

11

7

 

9

7

14

8

 

9

8

13

11

 

10

5

13

9

 

11

7

14

12

 

11

8

17

9

 

11

10

19

9

 

12

5

13

13

Rechteck

12

11

19

13

 

13

6

17

11

 

13

9

20

10

 

13

11

18

16

 

13

13

24

10

Rhombus

14

13

21

17

 

15

8

17

17

Rechteck

15

10

19

17

 

15

10

23

11

 

16

7

21

13

 

16

11

23

15

 

16

13

25

15

 

16

13

27

11

 

16

15

29

11

 

17

6

19

17

 

17

9

22

16

 

17

11

26

12

 

17

14

23

21

 

17

16

27

19

 

17

17

30

16

Rhombus

18

11

23

19

 

18

13

25

19

 

19

8

25

15

 

19

9

22

20

 

19

12

29

13

 

19

13

24

22

 

19

17

30

20

 

19

17

34

12

 

19

18

29

23

 

20

15

31

17

 

20

17

33

17

 

 

Die Rechecke sind aus zwei pythagoreischen Dreiecken (Spiegelung an der Hypotenusenmitte) zusammengesetzt. Von den beiden SeitenlŠngen ist eine gerade und die andere ungerade. Die DiagonalenlŠnge ist ungerade.

Die Rhomben sind aus vier pythagoreischen Dreiecken (Spiegelungen an den Katheten) zusammengesetzt. Die SeitenlŠnge ist ungerade, beide DiagonalenlŠngen sind gerade.

3        Gleichschenklige Trapeze

Seiten a und c mit  parallel, Schenkel b, Diagonale e. Satz des PtolemŠus (gleichschenklige Trapeze sind Sehnenvierecke) liefert die Bedingung:

Weiter muss  gelten (kein ăflachesŇ Trapez) sowie .

Beispiel:

Beispiel

Das Beispiel ist aus pythagoreischen Dreiecken der 60ˇ/120ˇ-Geometrie zusammengesetzt.

Beispiel:

In diesem Beispiel ist der Diagonalenschnittpunkt kein Rasterpunkt auf den Diagonalen.

 

Beispiel

Wenn wir jedoch mit dem Faktor 7 aufblasen zu , erhalten wir einen Rasterpunkt als Diagonalenschnittpunkt. — Sind allgemein die Diagonalenschnittpunkte in diesem Sinne rational?

Liste:

 

 

a

b

c

e

Kommentar

3

4

3

5

Rechteck

4

2

3

4

 

4

3

4

5

Rechteck

5

7

3

8

 

5

4

4

6

 

5

12

5

13

Rechteck

6

5

4

7

 

7

10

3

11

 

7

6

4

8

 

7

17

5

18

 

8

5

3

7

Fibonacci-Trapez

8

7

4

9

 

8

3

5

7

 

8

9

5

11

 

8

11

6

13

 

8

5

7

9

 

8

13

7

15

 

8

15

8

17

Rechteck

9

13

3

14

 

9

8

4

10

 

9

6

5

9

 

9

9

7

12

 

9

3

8

9

 

9

7

8

11

 

9

17

8

19

 

10

9

4

11

 

10

19

8

21

 

11

16

3

17

 

11

10

4

12

 

11

9

8

13

 

11

15

9

18

 

12

8

3

10

 

12

11

4

13

 

12

14

5

16

 

12

7

6

11

 

12

17

6

19

 

12

4

7

10

 

12

20

7

22

 

12

5

8

11

 

12

7

10

13

 

12

13

10

17

 

12

8

11

14

 

12

5

12

13

Rechteck

13

19

3

20

 

13

12

4

14

 

13

11

8

15

 

13

18

9

21

 

13

10

12

16

 

14

13

4

15

 

14

11

12

17

 

14

19

12

23

 

15

14

4

16

 

15

11

5

14

 

15

8

7

13

 

15

16

7

19

 

15

7

8

13

 

15

13

8

17

 

15

11

9

16

 

15

14

11

19

 

15

4

12

14

 

15

17

13

22

 

15

8

15

17

Rechteck

16

11

3

13

 

16

15

4

17

 

16

8

5

12

 

16

19

5

21

 

16

12

7

16

 

16

5

9

13

 

16

9

9

15

 

16

16

9

20

 

16

7

11

15

 

16

20

11

24

 

16

13

12

19

 

16

9

13

17

 

16

4

15

16

 

16

7

15

17

 

16

11

15

19

 

16

17

15

23

 

17

16

4

18

 

17

15

8

19

 

17

14

12

20

 

17

13

16

21

 

18

17

4

19

 

18

9

8

15

 

19

18

4

20

 

19

17

8

21

 

19

16

12

22

 

19

15

16

23

 

20

14

3

16

 

20

19

4

21

 

20

13

6

17

 

20

12

9

18

 

20

6

11

16

 

20

7

12

17

 

20

11

12

19

 

20

17

12

23

 

20

8

13

18

 

20

9

14

19

 

20

11

16

21

 

20

12

17

22

 

20

9

18

21

 

20

13

18

23

 

20

14

19

24