Hans Walser, [20100103a]
Formeln fŸr die sphŠrische, euklidische und hyperbolische Geometrie
Seiten-Kosinus-Satz
Winkel-Kosinus-Satz
Sinus-Satz
Rechter Winkel bei C
GeodŠtischer Radius r auf der OberflŠche der Einheitskugel.
Kreisumfang
KreisflŠche
Ein regelmŠ§iges
Vieleck mit n Ecken habe den
Umkreisradius r, die SeitenlŠnge und die
DiagonalenlŠngen . Figur fŸr .
RegelmŠ§iges Vieleck
Dann gilt:
Keine FlŠchenformel,
die mit Winkeln arbeitet. Zoomen verŠndert FlŠcheninhalt, nicht aber die
Winkel.
(Seiten-)Kosinus-Satz
(Winkel-)Kosinus-Satz
Sinus-Satz
Rechter Winkel bei C
Kreisumfang
KreisflŠche
Bezeichnung wie im
sphŠrischen Fall. Es gilt:
Hyperbolischer Seiten-Kosinus-Satz
Hyperbolischer Winkel-Kosinus-Satz
Hyperbolischer Sinus-Satz
Rechter Winkel bei C
Kreisumfang
KreisflŠche
Bezeichnung wie im
sphŠrischen Fall. Es gilt:
Es gelten rein
schreibtechnisch die Entsprechungen:
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SphŠrische Geometrie |
Ebene Geometrie |
Hyperbolische Geometrie |
Seiten x |
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Seiten x |
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Winkel |
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Mathematischer Link:
Wir stellen uns ein kleines sphŠrisches oder hyperbolisches Dreieck vor. Dabei
werden die drei Seiten a, b, und c klein, nicht aber die drei Winkel , und . FŸr die Funktionen der Seiten verwenden wir Taylor-Entwicklungen
bis zum Grad 2:
So gelangen wir von den
sphŠrischen oder hyperbolischen Formeln zu jenen der ebenen Geometrie.
Beispiel: Aus
erhalten wir:
Den Term lassen wir weg,
da er vom vierten Grad ist. Damit erhalten wir:
Das ist aber der
Kosinussatz der ebenen Geometrie.
Etliche Formeln der
euklidischen Geometrie stehen nur aus SystemgrŸnden da. Inhaltlich besagen sie .
Beispiel: (Winkel-)Kosinus-Satz
Daraus ergibt sich:
In den konformen
Darstellungen, nŠmlich der stereografischen Projektion fŸr die sphŠrische
Geometrie und dem Kreismodell von PoincarŽ fŸr die hyperbolische Geometrie,
werden Kreise auch planimetrisch als Kreise (in SonderfŠllen als Geraden)
dargestellt. Der sphŠrische oder hyperbolische Mittelpunkt ist aber nicht der
planimetrische Mittelpunkt der Kreisbilder.
Exzentrischer Kreis