Hans Walser, [20091025c]

Variationen zu Ford-Kreisen

Inhalt

1    Die Ford-Kreise........................................................................................................... 1

2    Kreise oben.................................................................................................................. 2

3    Vierteilige Symmetrie.................................................................................................. 4

4    Dreiteilige Symmetrie.................................................................................................. 6

5    Rechentechnisches....................................................................................................... 6

1        Die Ford-Kreise

Unter den Ford-Kreisen versteht man die Kreise der folgenden Figur.

Ford-Kreise

Wir vereinfachen die Figur.

Vereinfachung

Wir verwenden ein Koordinatensystem.

Koordinatensystem

Die blauen Viertelkreise haben in diesem Koordinatensystem die Radien 1. Der zentrale rote Kreis hat den Radius , die anschlie§enden Kreise der Reihe nach die Radien , , , ..., allgemein:

.

2        Kreise oben

Nun fźllen wir oberhalb des zentralen roten Kreises mit weiteren Kreisen.

Weitere Kreise

Fźr die Radien der roten Kreise gilt:

r[0] = 1/4

r[1] = 1/12

r[2] = 1/24

r[3] = 1/40

r[4] = 1/60

r[5] = 1/84

r[6] = 1/112

r[7] = 1/144

r[8] = 1/180

r[9] = 1/220

r[10] = 1/264

Die Radien sind Kehrwerte einer arithmetischen Folge zweiter Ordnung:

Der €sthetik halber noch die †berlagerung.

†berlagerung

SŠmtliche Radien der roten Kreise sind rational.

3        Vierteilige Symmetrie

Vierteilige Symmetrie

Hier sind die Radien der roten Kreise nicht mehr rational, schon der zentrale rote Kreis hat den Radius .

Fźr die Radien erhalten wir der Reihe nach:

Allgemein gilt:

4        Dreiteilige Symmetrie

Dreiteilige Symmetrie

Fźr die Radien gilt:

5        Rechentechnisches

Die Berechnung der Radien erfolgte rekursiv unter Verwendung des Satzes von Pythagoras. Berechnung mit CAS (MuPAD).