Hans Walser, [20191125]

Folgen pythagoreischer Dreiecke

1   Der Sachverhalt

Es sei  ein pythagoreisches Tripel. Es handelt sich also um natźrlich Zahlen mit der Eigenschaft:

 

                                                                                                                (1)

 

 

 

Weiter seien  die zugehšrigen Parameter. Es ist also:

 

                                                         (2)

 

 

 

Dann gilt folgendes. Die drei Zahlen

 

                                                                                             (3)

 

 

 

 

 

bilden ebenfalls ein pythagoreisches Tripel. Beweis durch Nachrechnen (vgl. [1]).

Weiter ist:

 

                                                                                                           (4)

 

 

 

 

Aus (4) ergibt sich unmittelbar:

 

                                                                                                       (5)

 

 

 

 

Die beiden Parameter bilden also je eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge mit derselben Rekursion.

2   Beispiele

2.1  Das Lehrerdreieck

Wir beginnen mit dem Starttripel:

 

                                                                                                     (6)

 

 

 

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte der Folge gemŠ§ (3) und (4).

 

n

1

3

4

5

1.666666667

2

1

2.

2

21

20

29

1.380952381

5

2

2.5

3

119

120

169

1.420168067

12

5

2.4

4

697

696

985

1.413199426

29

12

2.416666667

5

4059

4060

5741

1.414387780

70

29

2.413793103

6

23661

23660

33461

1.414183678

169

70

2.414285714

7

137903

137904

195025

1.414218690

408

169

2.414201183

8

803761

803760

1136689

1.414212683

985

408

2.414215686

9

4684659

4684660

6625109

1.414213713

2378

985

2.414213198

10

27304197

27304196

38613965

1.414213536

5741

2378

2.414213625

Tab. 1: Erste Werte

Die zu den Tripeln gehšrenden Dreiecke nŠhern sich einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an. Die beiden KathetenlŠngen unterscheiden sich immer nur um 1.

Wir vermuten:

 

                                   (7)

 

 

 

In der Tabelle 2 sind die Zuwachsfaktoren angegeben.

 

n

1

7.

5.

5.8

2

5.666666667

6.

5.827586207

3

5.857142857

5.8

5.828402367

4

5.823529412

5.833333333

5.828426396

5

5.829268293

5.827586207

5.828427103

6

5.828282828

5.828571429

5.828427124

7

5.828451883

5.828402367

5.828427125

8

5.828422877

5.828431373

5.828427125

9

5.828427854

5.828426396

5.828427125

10

5.828427000

5.828427250

5.828427125

Tab. 2: Zuwachsfaktoren

Wir vermuten:

 

                                                        (8)

 

 

 

Die Abbildung 1 illustriert (3) beim †bergang von n = 1 zu n = 2, also beim †bergang vom 3:4:5-Dreieck zum 21:20:29-Dreieck.

Abb. 1: Illustration

Man kann es auch dramatischer gestalten (Abb. 2).

Abb. 2: Dramatische Variante

2.2  Dreieck 5:12:13

Die Tabelle 3 zeigt die ersten Werte der Folge gemŠ§ (3) und (4).

 

n

1

5

12

13

2.6

3

2

1.5

2

55

48

73

1.327272727

8

3

2.666666667

3

297

304

425

1.430976431

19

8

2.375000000

4

1755

1748

2477

1.411396011

46

19

2.421052632

5

10205

10212

14437

1.414698677

111

46

2.413043478

6

59503

59496

84145

1.414130380

268

111

2.414414414

7

346785

346792

490433

1.414227836

647

268

2.414179104

8

2021235

2021228

2858453

1.414211114

1562

647

2.414219474

9

11780597

11780604

16660285

1.414213983

3771

1562

2.414212548

10

68662375

68662368

97103257

1.414213490

9104

3771

2.414213736

Tab. 3: Erste Werte

Wir vermuten wiederum (7). Die zu den Tripeln gehšrenden Dreiecke nŠhern sich ebenfalls einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an. Die beiden KathetenlŠngen unterscheiden sich immer nur um 7.

Die Tabelle 4 gibt die Zuwachsfaktoren.

 

n

1

11.

4.

5.615384615

2

5.4

6.333333333

5.821917808

3

5.909090909

5.750000000

5.828235294

4

5.814814815

5.842105263

5.828421478

5

5.830769231

5.826086957

5.828426959

6

5.828025478

5.828828829

5.828427120

7

5.828496042

5.828358209

5.828427125

8

5.828415301

5.828438949

5.828427125

9

5.828429153

5.828425096

5.828427125

10

5.828426777

5.828427473

5.828427125

Tab. 4: Zuwachsfaktoren

Wir vermuten wiederum (8).

3   Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Rekursion (3) verwendet die symmetrische Matrix A:

 

                                                                                                      (9)

 

 

 

 

 

 

Die Matrix A hat die Eigenwerte und exemplarischen Eigenvektoren:

 

                             (10)

 

 

 

 

 

 

Beim wiederholten Anwenden der Rekursion (3) nŠhern sich die Daten dem Fall mit dem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert, also  an. Damit ist die Vermutung (8) bewiesen.

Der zu diesem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert gehšrende Eigenvektor

 

                                                                                                                       (11)

 

 

 

 

 

 

beschreibt das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck mit den KathetenlŠngen 1 und der HypotenusenlŠnge . Das ist natźrlich kein pythagoreisches Dreieck mehr. Wenn wir es trotzdem als Startdreieck nehmen, bleibt die Dreiecksfolge formmŠ§ig stabil. Wir erhalten rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke, die schrittweise mit dem Faktor , dem Eigenwert also, gestreckt werden. Die Abbildung 3 zeigt den ersten Schritt. Die Rechnung gemŠ§ (3) lŠsst sich auch grafisch verifizieren (der ErklŠrungsraster ist aber kein Quadratraster).

Abb. 3: Eigenvektor und Bild des Eigenvektors

Die Rekursion (4) arbeitet mit der Matrix U:

 

                                                                                                           (12)

 

 

 

 

 

Diese Matrix U hat die Eigenwerte und exemplarischen Eigenvektoren:

 

                                                    (13)

 

 

 

 

 

Beim wiederholten Anwenden der Rekursion (4) nŠhern sich die Daten dem Fall mit dem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert, also  an. Damit ist die Vermutung (8) bewiesen. Damit lŠsst sich de zweite Teil der Vermutung (7) beweisen. Der Beweis lŠsst sich auch mit allgemeinen †berlegungen bei Fibonacci-Folgen fźhren (Walser 2012).

 

Literatur

Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.

 

Weblinks

[1] Hans Walser: Pythagoras-Puzzle

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras-Puzzle/Pythagoras-Puzzle.htm

[2] Hans Walser: Folge von pythagoreischen Dreiecken

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Folge_pyth_Dr/Folge_pyth_Dr.htm