Hans Walser, [20191125]
Folgen pythagoreischer Dreiecke
Es sei ein pythagoreisches Tripel. Es handelt sich also um natźrlich Zahlen mit der Eigenschaft:
(1)
Weiter seien die zugehšrigen Parameter. Es ist also:
(2)
Dann gilt folgendes. Die drei Zahlen
(3)
bilden ebenfalls ein pythagoreisches Tripel. Beweis durch Nachrechnen (vgl. [1]).
Weiter ist:
(4)
Aus (4) ergibt sich unmittelbar:
(5)
Die beiden Parameter bilden also je eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge mit derselben Rekursion.
Wir beginnen mit dem Starttripel:
(6)
Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte der Folge gemŠ§ (3) und (4).
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
5 |
1.666666667 |
2 |
1 |
2. |
2 |
21 |
20 |
29 |
1.380952381 |
5 |
2 |
2.5 |
3 |
119 |
120 |
169 |
1.420168067 |
12 |
5 |
2.4 |
4 |
697 |
696 |
985 |
1.413199426 |
29 |
12 |
2.416666667 |
5 |
4059 |
4060 |
5741 |
1.414387780 |
70 |
29 |
2.413793103 |
6 |
23661 |
23660 |
33461 |
1.414183678 |
169 |
70 |
2.414285714 |
7 |
137903 |
137904 |
195025 |
1.414218690 |
408 |
169 |
2.414201183 |
8 |
803761 |
803760 |
1136689 |
1.414212683 |
985 |
408 |
2.414215686 |
9 |
4684659 |
4684660 |
6625109 |
1.414213713 |
2378 |
985 |
2.414213198 |
10 |
27304197 |
27304196 |
38613965 |
1.414213536 |
5741 |
2378 |
2.414213625 |
Tab. 1: Erste Werte
Die zu den Tripeln gehšrenden Dreiecke nŠhern sich einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an. Die beiden KathetenlŠngen unterscheiden sich immer nur um 1.
Wir vermuten:
(7)
In der Tabelle 2 sind die Zuwachsfaktoren angegeben.
n |
|
|
|
1 |
7. |
5. |
5.8 |
2 |
5.666666667 |
6. |
5.827586207 |
3 |
5.857142857 |
5.8 |
5.828402367 |
4 |
5.823529412 |
5.833333333 |
5.828426396 |
5 |
5.829268293 |
5.827586207 |
5.828427103 |
6 |
5.828282828 |
5.828571429 |
5.828427124 |
7 |
5.828451883 |
5.828402367 |
5.828427125 |
8 |
5.828422877 |
5.828431373 |
5.828427125 |
9 |
5.828427854 |
5.828426396 |
5.828427125 |
10 |
5.828427000 |
5.828427250 |
5.828427125 |
Tab. 2: Zuwachsfaktoren
Wir vermuten:
(8)
Die Abbildung 1 illustriert (3) beim †bergang von n = 1 zu n = 2, also beim †bergang vom 3:4:5-Dreieck zum 21:20:29-Dreieck.
Abb. 1: Illustration
Man kann es auch dramatischer gestalten (Abb. 2).
Abb. 2: Dramatische Variante
Die Tabelle 3 zeigt die ersten Werte der Folge gemŠ§ (3) und (4).
n |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
12 |
13 |
2.6 |
3 |
2 |
1.5 |
2 |
55 |
48 |
73 |
1.327272727 |
8 |
3 |
2.666666667 |
3 |
297 |
304 |
425 |
1.430976431 |
19 |
8 |
2.375000000 |
4 |
1755 |
1748 |
2477 |
1.411396011 |
46 |
19 |
2.421052632 |
5 |
10205 |
10212 |
14437 |
1.414698677 |
111 |
46 |
2.413043478 |
6 |
59503 |
59496 |
84145 |
1.414130380 |
268 |
111 |
2.414414414 |
7 |
346785 |
346792 |
490433 |
1.414227836 |
647 |
268 |
2.414179104 |
8 |
2021235 |
2021228 |
2858453 |
1.414211114 |
1562 |
647 |
2.414219474 |
9 |
11780597 |
11780604 |
16660285 |
1.414213983 |
3771 |
1562 |
2.414212548 |
10 |
68662375 |
68662368 |
97103257 |
1.414213490 |
9104 |
3771 |
2.414213736 |
Tab. 3: Erste Werte
Wir vermuten wiederum (7). Die zu den Tripeln gehšrenden Dreiecke nŠhern sich ebenfalls einem rechtwinklig gleichschenkligen Dreieck an. Die beiden KathetenlŠngen unterscheiden sich immer nur um 7.
Die Tabelle 4 gibt die Zuwachsfaktoren.
n |
|
|
|
1 |
11. |
4. |
5.615384615 |
2 |
5.4 |
6.333333333 |
5.821917808 |
3 |
5.909090909 |
5.750000000 |
5.828235294 |
4 |
5.814814815 |
5.842105263 |
5.828421478 |
5 |
5.830769231 |
5.826086957 |
5.828426959 |
6 |
5.828025478 |
5.828828829 |
5.828427120 |
7 |
5.828496042 |
5.828358209 |
5.828427125 |
8 |
5.828415301 |
5.828438949 |
5.828427125 |
9 |
5.828429153 |
5.828425096 |
5.828427125 |
10 |
5.828426777 |
5.828427473 |
5.828427125 |
Tab. 4: Zuwachsfaktoren
Wir vermuten wiederum (8).
Die Rekursion (3) verwendet die symmetrische Matrix A:
(9)
Die Matrix A hat die Eigenwerte und exemplarischen Eigenvektoren:
(10)
Beim wiederholten Anwenden der Rekursion (3) nŠhern sich die Daten dem Fall mit dem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert, also an. Damit ist die Vermutung (8) bewiesen.
Der zu diesem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert gehšrende Eigenvektor
(11)
beschreibt das rechtwinklig gleichschenklige Dreieck mit den KathetenlŠngen 1 und der HypotenusenlŠnge . Das ist natźrlich kein pythagoreisches Dreieck mehr. Wenn wir es trotzdem als Startdreieck nehmen, bleibt die Dreiecksfolge formmŠ§ig stabil. Wir erhalten rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke, die schrittweise mit dem Faktor , dem Eigenwert also, gestreckt werden. Die Abbildung 3 zeigt den ersten Schritt. Die Rechnung gemŠ§ (3) lŠsst sich auch grafisch verifizieren (der ErklŠrungsraster ist aber kein Quadratraster).
Abb. 3: Eigenvektor und Bild des Eigenvektors
Die Rekursion (4) arbeitet mit der Matrix U:
(12)
Diese Matrix U hat die Eigenwerte und exemplarischen Eigenvektoren:
(13)
Beim wiederholten Anwenden der Rekursion (4) nŠhern sich die Daten dem Fall mit dem betragsmŠ§ig grš§ten Eigenwert, also an. Damit ist die Vermutung (8) bewiesen. Damit lŠsst sich de zweite Teil der Vermutung (7) beweisen. Der Beweis lŠsst sich auch mit allgemeinen †berlegungen bei Fibonacci-Folgen fźhren (Walser 2012).
Literatur
Walser, Hans (2012): Fibonacci. Zahlen und Figuren. Leipzig, EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-60-8.
Weblinks
[1] Hans Walser: Pythagoras-Puzzle
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoras-Puzzle/Pythagoras-Puzzle.htm
[2] Hans
Walser: Folge von pythagoreischen Dreiecken
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Folge_pyth_Dr/Folge_pyth_Dr.htm