Hans Walser, [20100306a]

FlŠchenhalbierende

1        Punktsymmetrische Figuren

Jede Gerade durch das Symmetriezentrum S einer punktsymmetrischen Figur zerlegt diese in zwei flŠchengleiche Teile.

FlŠchenhalbierung

2        Umkehrung?

Wir gehen aus von einer Figur mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt S gibt so dass jede Gerade durch diesen Punkt die Figur in zwei flŠchengleiche Teile zerlegt. Die Frage ist, ob das eine punktsymmetrische Figur sein muss.

Die Frage ist zu verneinen. Ein einfaches Gegenbeispiel besteht aus einem Halbkreis mit dem Radius 1 und einem ergŠnzenden Halbkreisring mit dem Innenradius 1 und dem Au§enradius . Der Punkt S ist das gemeinsame Zentrum von Halbkreis und Halbkreisring. 

Gegenbeispiel

Die Gleichsetzung der FlŠcheninhalte geht sektorenweise. Ein Sektor mit Sektorwinkel  (Bogenma§) und Radius 1 hat den FlŠcheninhalt . Der gegenŸberliegende Ringsektor mit dem gleichen Sektorwinkel , dem Au§enradius  und dem Innenradius 1 hat den FlŠcheninhalt .

Das Beispiel lŠsst sich verallgemeinern: Halbkreisradius a, Innenradius b und Au§enradius c des Halbkreisringes mit der Nebenbedingung . Pythagoras lŠsst grŸ§en.

Wem dieses Gegenbeispiel immer noch zu symmetrisch ist: auch folgendes Gegenbeispiel funktioniert. Der Sektorradius ist 1, beim kleinen Kreisringsektor haben wir den Innenradius  und den Au§enradius  und beim gro§en Kreisringsektor den Innenradius  und den Au§enradius .

Gegenbeispiel

Und schlie§lich ein eher systematisches Gegenbeispiel. Die verwendeten Radien sind .

Gegenbeispiel

Wir kšnnen in diesem Gegenbeispiel Ehrenrunden einbauen:

Zwei Runden

Dasselbe mit kontinuierlichem Wachstum der Radien:

    

Kontinuierliches Wachstum

3        Sektoren

Zu jedem Gebiet gibt es zu jeder Richtung eine flŠchenhalbierende Gerade (Vorstellung: Gerade parallel verschieben, bis FlŠche halbiert wird). Die flŠchenhalbierenden Geraden zu verschiedenen Richtungen verlaufen aber in der Regel nicht durch denselben Punkt.

Wir zeichnen nun zu einem Gebiet zwei flŠchenhalbierende Geraden. Diese bilden vier Sektoren gemŠ§ Abbildung. Jeder Sektor enthŠlt Teile des Gebietes, wobei die Teile nicht zusammenhŠngen sein mŸssen. Wir nummerieren die Teile mit ršmischen Nummern und allenfalls ZusŠtzen a, b, c, ... .

Zwei FlŠchenhalbierende

Nun messen die Teile I+II sowie II+III je die halbe FlŠche. Daher sind I und III flŠchengleich. Analog sind II und IV flŠchengleich. Gegensektoren beinhalten flŠchengleiche Teile.

Wenn eine Figur nun die Eigenschaft hat, dass sŠmtliche FlŠchenhalbierenden durch denselben Punkt S verlaufen, beinhalten Gegensektoren mit der Spitze S immer flŠchengleiche Teile.

GrŸn = Gelb

4        Konvexe Figuren

Ein konvexes Gebiet lŠsst sich mit einem beliebig im Innern gewŠhlten Ursprung durch eine positive 2¹-periodische Funktion  beschreiben.

FŸr den FlŠcheninhalt A des Gebietes gilt als Ableger der Integralformel von Stokes die Formel:

FŸr einen infinitesimal kleinen Sektor erhalten wir daher:

Wenn nun Gegensektoren gleiche FlŠchen beinhalten, folgt:

Die letzte Gleichung bedeutet, dass das Gebiet punktsymmetrisch ist. Somit gilt:

Ein konvexes Gebiet mit der Eigenschaft, dass es einen Punkt S gibt so dass jede Gerade durch diesen Punkt das Gebiet in zwei flŠchengleiche Teile zerlegt, ist punktsymmetrisch. Der Punkt S ist das Symmetriezentrum.

5        Analyse der Gegenbeispiele

Die Gegenbeispiele kšnnen nicht konvex sein.

Den oben vorgestellten Gegenbeispielen ist gemeinsam, dass ein von S ausgehender Strahl ãin gleichen Zeiten gleiche FlŠchen ŸberstreichtÒ. Anders formuliert:

Diese Gegenbeispiele sind also sehr nahe beim Kreis. Sie haben neben der Halbierungseigenschaft auch zum Beispiel eine Drittelungseigenschaft: Drei Strahle, welche von S in regelmŠ§igen Winkeln ausgehen (ãMercedes-SternÒ), dritteln die GebietsflŠche.

GrŸn = Gelb = Magenta

Ein Gegenbeispiel ohne diese Drittelungseigenschaft kann so aussehen:

Noch ein Gegenbeispiel

In der oberen Halbebene haben wir die archimedische Spirale mit dem Radius . In der unteren Halbebene arbeiten wir mit dem Innenradius . Die innere Kurve ist also die Fortsetzung der archimedischen Spirale in der oberen Halbebene. FŸr den Au§enradius verwenden wir  mit:

6        Ausblick k-Strahlen

Wir kšnnen analoge †berlegungen anstellen, indem wir die flŠchenhalbierenden Geraden ersetzen durch zum Beispiel Strahlentripel oder allgemein Strahlen-k-Tupel, welche unter regelmŠ§igen Winkeln von S ausgehen. Im konvexen Fall fŸhrt das zu Figuren mit k-strahliger Drehsymmetrie.