Hans Walser, [20150823]
Fibonacci-Potenzen
1 Worum geht es
Es werden die Quadrate, Kuben und vierte Potenzen der Folgen mit der Fibonacci-Rekursion behandelt. Insbesondere kommen die Fibonacci-Folge und die Lucas-Folge vor.
2 Quadrate
2.1 Rekursion fŸr Quadrate der Fibonacci Zahlen
Aus der Formel von Binet
(1)
erhalten wir:
(2)
Behauptung: Es gilt folgende Rekursion:
(3)
Beweis: Nachrechnen unter Verwendung von (2).
2.2 Beginn mit Rekursion
Eine
beliebige Folge 
habe die Rekursion:
(4)
Daraus ergibt sich:
(5)
FŸr den Grenzwert
(6)
finden wir die kubische Gleichung:
(7)
Diese hat die Lšsungen:
(8)
Somit
gilt fŸr die Folge 
die verallgemeinerte Binet-Formel:
(9)
2.3 Beispiele
2.3.1 Quadrate der Fibonacci-Folge
Fibonacci-Folge:
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
Tab. 1: Fibonacci-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(10)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(11)
Das Geleichungssystem (11) hat die Lšsung:
(12)
Dies ergibt die Formel (2).
2.3.2 Quadrate der Lucas-Folge
Lucas-Folge:
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
2 |
1 |
3 |
4 |
7 |
11 |
18 |
29 |
47 |
Tab. 2: Lucas-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(13)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(14)
Das Geleichungssystem (14) hat die Lšsung:
(15)
Dies ergibt fŸr die Quadrate der Lucas-Folge die besonders einfache Formel:
(16)
Und tatsŠchlich:
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
4 |
1 |
9 |
16 |
49 |
121 |
324 |
841 |
2209 |
Tab. 3: Quadrate der Lucas-Folge
Aus (16) ergibt sich die Binet-Formel fŸr die Lucas-Folge:
(17)
3 Kuben
Und nun dasselbe fŸr die Kuben.
3.1 Rekursion fŸr die Kuben der Fibonacci Zahlen
Es gilt die Rekursion:
(18)
3.2 Beginn mit der Rekursion
Eine
beliebige Folge 
habe die Rekursion:
(19)
FŸr den Grenzwert
(20)
finden wir die Gleichung vierten Grades:
(21)
Diese hat die Lšsungen:
(22)
Somit
gilt fŸr die Folge 
die verallgemeinerte Binet-Formel:
(23)
3.3 Beispiele
3.3.1 Kuben der Fibonacci-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(24)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(25)
Das Geleichungssystem (25) hat die Lšsung:
(26)
Dies ergibt die Formel:
(27)
3.3.2 Kuben der Lucas-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(28)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(29)
Das Geleichungssystem (29) hat die Lšsung:
(30)
Dies ergibt die Formel:
(31)
4 Vierte Potenzen
Und nun dasselbe fŸr die vierten Potenzen.
4.1 Rekursion fŸr die Kuben der Fibonacci Zahlen
Es gilt die Rekursion:
(32)
4.2 Beginn mit der Rekursion
Eine
beliebige Folge 
habe die Rekursion:
(33)
FŸr den Grenzwert
(34)
finden wir die Gleichung fŸnften Grades:
(35)
Diese hat die Lšsungen:
(36)
Somit
gilt fŸr die Folge 
die
verallgemeinerte Binet-Formel:
(37)
4.3 Beispiele
4.3.1 Vierte Potenzen der Fibonacci-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(38)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(39)
Das Geleichungssystem (39) hat die Lšsung:
(40)
Dies ergibt die Formel:
(41)
4.3.2 Vierte Potenzen der Lucas-Folge
Wir arbeiten mit den Startwerten:
(42)
FŸr die
Koeffizienten 
erhalten wir die Bedingung:
(43)
Das Geleichungssystem (43) hat die Lšsung:
(44)
Dies ergibt die Formel:
(45)
Da haben wir etwas mit der Kirche ums Dorf gerechnet.