Hans Walser, [20100622a], [20140303]

Fibonacci und Pascal

1 Worum geht es?

Bekanntlich führen die „Schrägzeilensummen“ im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten zu den Fibonacci-Zahlen. Es wird untersucht, was bei einer Veränderung der Steigung geschieht.

2 Disposition

Damit wir die Steigung gut definieren können, wird das Pascal-Dreieck mit Linksanschlag dargestellt.

Pascal-Dreieck mit Linksanschlag

Die Rekursion der Biomialkoeffizienten

kann wie folgt visualisiert werden:

grün = blau + rot

3 Schrägzeilen

Die Steigung der Schrägzeilen können wir nun wie gewohnt definieren.

Für die Steigung 0 erhalten wir horizontale Zeilen und damit die Zeilensummen.

Zeilensummen

Nach der Rekursion für die Binomialkoeffizienten ist jedes Element der Zeile die Summe zweier Elemente der Zeile n (außerhalb des Pascal-Dreiecks muss man sich Nullen dazu denken).

Wie sich die Elemente der Zeilen zusammensetzen

Daher haben wir für die Zeilensummen die Rekursion .

3.1 Steigung 1

Für die Steigung 1 erhalten wir die Fibonacci-Zahlen.

Steigung 1

Diese haben die Rekursion . Dies kann sofort eingesehen werden: Jedes grüne Element ist die Summe eines blauen und eines roten Elementes.

grün = blau + rot

Als Referenz an den goldenen Schnitt definieren wir noch die Quotientenfolge . Die Tabelle zeigt die ersten Werte.

a[1,1] = 1 q[1,1] = 1 = 1.0

a[2,1] = 1 q[2,1] = 2 = 2.0

a[3,1] = 2 q[3,1] = 3/2 = 1.5

a[4,1] = 3 q[4,1] = 5/3 = 1.666666667

a[5,1] = 5 q[5,1] = 8/5 = 1.6

a[6,1] = 8 q[6,1] = 13/8 = 1.625

a[7,1] = 13 q[7,1] = 21/13 = 1.615384615

a[8,1] = 21 q[8,1] = 34/21 = 1.619047619

a[9,1] = 34 q[9,1] = 55/34 = 1.617647059

a[10,1] = 55 q[10,1] = 89/55 = 1.618181818

a[11,1] = 89 q[11,1] = 144/89 = 1.617977528

a[12,1] = 144 q[12,1] = 233/144 = 1.618055556

a[13,1] = 233 q[13,1] = 377/233 = 1.618025751

a[14,1] = 377 q[14,1] = 610/377 = 1.618037135

a[15,1] = 610 q[15,1] = 987/610 = 1.618032787

a[16,1] = 987 q[16,1] = 1597/987 = 1.618034448

a[17,1] = 1597 q[17,1] = 2584/1597 = 1.618033813

a[18,1] = 2584 q[18,1] = 4181/2584 = 1.618034056

a[19,1] = 4181 q[19,1] = 6765/4181 = 1.618033963

a[20,1] = 6765 q[20,1] = 10946/6765 = 1.618033999

Die Quotientenfolge strebt gegen den goldenen Schnitt:

.

3.2 Steigung 2

Für die Steigung 2 sieht die Sache so aus:

Steigung 2

Offenbar gilt die Rekursion . Wir benötigen drei Startwerte. Auch diese Rekursion kann visualisiert werden.

grün = blau + rot

Tabellarisch:

a[1,2] = 1 q[1,2] = 1 = 1.0

a[2,2] = 1 q[2,2] = 1 = 1.0

a[3,2] = 1 q[3,2] = 2 = 2.0

a[4,2] = 2 q[4,2] = 3/2 = 1.5

a[5,2] = 3 q[5,2] = 4/3 = 1.333333333

a[6,2] = 4 q[6,2] = 3/2 = 1.5

a[7,2] = 6 q[7,2] = 3/2 = 1.5

a[8,2] = 9 q[8,2] = 13/9 = 1.444444444

a[9,2] = 13 q[9,2] = 19/13 = 1.461538462

a[10,2] = 19 q[10,2] = 28/19 = 1.473684211

a[11,2] = 28 q[11,2] = 41/28 = 1.464285714

a[12,2] = 41 q[12,2] = 60/41 = 1.463414634

a[13,2] = 60 q[13,2] = 22/15 = 1.466666667

a[14,2] = 88 q[14,2] = 129/88 = 1.465909091

a[15,2] = 129 q[15,2] = 63/43 = 1.465116279

a[16,2] = 189 q[16,2] = 277/189 = 1.465608466

a[17,2] = 277 q[17,2] = 406/277 = 1.465703971

a[18,2] = 406 q[18,2] = 85/58 = 1.465517241

a[19,2] = 595 q[19,2] = 872/595 = 1.465546218

a[20,2] = 872 q[20,2] = 639/436 = 1.46559633

Wie groß ist ?

3.3 Steigung 3

Steigung 3

Wir erhalten die Rekursion und benötigen vier Startwerte.

grün = blau + rot

Tabelle:

a[1,3] = 1 q[1,3] = 1 = 1.0

a[2,3] = 1 q[2,3] = 1 = 1.0

a[3,3] = 1 q[3,3] = 1 = 1.0

a[4,3] = 1 q[4,3] = 2 = 2.0

a[5,3] = 2 q[5,3] = 3/2 = 1.5

a[6,3] = 3 q[6,3] = 4/3 = 1.333333333

a[7,3] = 4 q[7,3] = 5/4 = 1.25

a[8,3] = 5 q[8,3] = 7/5 = 1.4

a[9,3] = 7 q[9,3] = 10/7 = 1.428571429

a[10,3] = 10 q[10,3] = 7/5 = 1.4

a[11,3] = 14 q[11,3] = 19/14 = 1.357142857

a[12,3] = 19 q[12,3] = 26/19 = 1.368421053

a[13,3] = 26 q[13,3] = 18/13 = 1.384615385

a[14,3] = 36 q[14,3] = 25/18 = 1.388888889

a[15,3] = 50 q[15,3] = 69/50 = 1.38

a[16,3] = 69 q[16,3] = 95/69 = 1.376811594

a[17,3] = 95 q[17,3] = 131/95 = 1.378947368

a[18,3] = 131 q[18,3] = 181/131 = 1.381679389

a[19,3] = 181 q[19,3] = 250/181 = 1.38121547

a[20,3] = 250 q[20,3] = 69/50 = 1.38

4 Allgemein

Für die Steigung m benötigen wir Startwerte und erhalten die Rekursion:

Der Beweis läuft analog zu den oben visualisierten Fällen.

Formal können wir die Zahlen direkt aus den Binomialkoeffizienten berechnen:

5 Grenzwerte

Wie groß ist:

Aus der Rekursionsformel erhalten wir:

Der Limes ist also eine positive reelle Lösung der Gleichung:

Mit dem Startwert 1 erhalten wir nach der Methode von Newton-Raphson:

x[0] = 2.0

x[1] = 1.618033989

x[2] = 1.465571232

x[3] = 1.380277569

x[4] = 1.324717957

x[5] = 1.285199033

x[6] = 1.255422871

x[7] = 1.232054631

x[8] = 1.213149723

x[9] = 1.197491434

x[10] = 1.184276322

x[11] = 1.17295075

x[12] = 1.163119791

x[13] = 1.154493551

x[14] = 1.146854042

x[15] = 1.140033937

x[16] = 1.13390249

x[17] = 1.12835594

x[18] = 1.123310806

x[19] = 1.118699108

x[20] = 1.11446488

Vermutlich ist .

6 Gestörte Kreisteilung

Heuristisch kann dies wie folgt überlegt werden: Die Gleichung ist eine durch dem Summanden gestörte Kreiseilungsgleichung , deren Lösungen die -ten Einheitswurzeln sind.

Im folgenden sind die Lösungen in von für einige Werte von m dargestellt. Wir erhalten jeweils Lösungen. Zum Vergleich ist auch der Einheitskreis eingezeichnet.

6.1 m = 3

m = 3

6.2 m = 11

m = 11

6.3 m = 51

m = 51

Die Punkte liegen nun beinahe auf dem Einheitskreis. Interessant ist die „Spitze“ bei der in unserem Kontext relevanten positiven reellen Lösung.