Hans Walser, [20100509a]

Fermat mit negativen Exponenten

Anregung: T. G., B.

Vgl. [Morgan 2010]

1        Ausgangsfrage

Gesucht sind Lšsungen  der Gleichung:

 

2        Beispiele und Gegenbeispiele

a)   Fźr  gibt es keine Lšsung (FermatŐs Last Theorem, Beweis durch Wiles 1995)

b)  Fźr  gibt es die pythagoreischen Zahlentripel. Einfachstes Beispiel ist .

c)   Fźr  ist der Fall trivial. Einfachstes Beispiel ist  .

d)  Fźr  gibt es wegen  keine Lšsung.

e)   Fźr  zwei Beispiele:

f)   Fźr  zwei Beispiele:

g)  Niemand ist eingeladen, fźr  Beispiele zu suchen.

3        Hintergrund

3.1      Umrechungsformeln

Aus einer Lšsung mit dem Exponenten z lŠsst sich eine Lšsung mit dem Exponenten  konstruieren:

Falls , so erhalten wir durch die Zuordnung

 

eine ganzzahlige Lšsung der Gleichung .

Beweis: Zu zeigen ist: 1) Es ist eine Lšsung. 2) Sie ist ganzzahlig.

Ad 1), Lšsung:

Wir verwenden die Bezeichnung . Damit erhalten wir:

 

 

 

Ad 2), Ganzzahligkeit:

Wir verwenden die Primfaktorzerlegungen:

 

Damit ist:

 

Die Exponenten in der Primfaktorzerlegung kšnnen wir anders schreiben. Es ist nŠmlich:

 

 Somit ist:

 

Weiter ist zum Beispiel:

 

Wegen  ist  ganzzahlig. Analog fźr  und .

Bemerkung: Auf Grund dieser Umrechungsformeln ist aus FermatŐs Last Theorem klar, dass es fźr  keine Lšsung geben kann.

3.2      Involution

Die Zuordnung ist involutorisch:

 

ZunŠchst berechnen wir

 

und dazu:

 

 

 

Analog:

 

 

 

Daraus ergibt sich:

 

also:

 

Wieder kšnnen wir die Exponenten umformen. Es ist:

 

Somit ist:

 

Wir verwenden nun die Schreibweise:

 

Damit wird zum Beispiel:

 

 

 

Fźr die Exponenten gilt:

 

 

 

Somit ist  und analog  und . Damit ist die Involutionseigenschaft bewiesen.

3.3      Beispiele

3.3.1    z  = ±1

a)   Aus  erhalten wir , also .

b)  Aus  erhalten wir , also .

3.3.2    z  = ±2

a)   Aus  erhalten wir , also .

b)  Aus  erhalten wir , also . Umgekehrt ist , wir kommen also wieder zurźck.

c)   Aus  erhalten wir , also .

4        Weitere Spielereien

4.1      Exponent –1

Aus  erhalten wir , also:

 

Wir wenden nun diesen Sachverhalt iterativ an:

 

 

 

 

 

 

Fźr die Nenner haben wir die Folge:

 

Es gilt die Rekursion:

 

Der Computer liefert:

d[1] = 2

d[2] = 3

d[3] = 7

d[4] = 43

d[5] = 1807

d[6] = 3263443

d[7] = 10650056950807

d[8] = 113423713055421844361000443

d[9] = 12864938683278671740537145998360961546653259485195807

 

Die Nenner sind nicht alles Primzahlen. Die erste Nichtprimzahl ist:

 

4.2      Exponent –2

4.2.1    Pythagoreische Dreiecke

Wir rechnen die pythagoreischen Zahlentripel um. Dabei lassen wir auch nichtprimitive Zahlentripel zu. Wir verwenden die źbliche Parametrisierung mit  und:

 

 

u

v

a

b

c

2

1

3

4

5

1

20

15

12

3

1

8

6

10

2

30

40

24

3

2

5

12

13

1

156

65

60

4

1

15

8

17

1

136

255

120

4

2

12

16

20

4

80

60

48

4

3

7

24

25

1

600

175

168

5

1

24

10

26

2

130

312

120

5

2

21

20

29

1

580

609

420

5

3

16

30

34

2

510

272

240

5

4

9

40

41

1

1640

369

360

6

1

35

12

37

1

444

1295

420

6

2

32

24

40

8

120

160

96

6

3

27

36

45

9

180

135

108

6

4

20

48

52

4

624

260

240

6

5

11

60

61

1

3660

671

660

7

1

48

14

50

2

350

1200

336

7

2

45

28

53

1

1484

2385

1260

7

3

40

42

58

2

1218

1160

840

7

4

33

56

65

1

3640

2145

1848

7

5

24

70

74

2

2590

888

840

7

6

13

84

85

1

7140

1105

1092

8

1

63

16

65

1

1040

4095

1008

8

2

60

32

68

4

544

1020

480

8

3

55

48

73

1

3504

4015

2640

8

4

48

64

80

16

320

240

192

8

5

39

80

89

1

7120

3471

3120

8

6

28

96

100

4

2400

700

672

8

7

15

112

113

1

12656

1695

1680

9

1

80

18

82

2

738

3280

720

9

2

77

36

85

1

3060

6545

2772

9

3

72

54

90

18

270

360

216

9

4

65

72

97

1

6984

6305

4680

9

5

56

90

106

2

4770

2968

2520

9

6

45

108

117

9

1404

585

540

9

7

32

126

130

2

8190

2080

2016

9

8

17

144

145

1

20880

2465

2448

10

1

99

20

101

1

2020

9999

1980

10

2

96

40

104

8

520

1248

480

10

3

91

60

109

1

6540

9919

5460

10

4

84

80

116

4

2320

2436

1680

10

5

75

100

125

25

500

375

300

10

6

64

120

136

8

2040

1088

960

10

7

51

140

149

1

20860

7599

7140

10

8

36

160

164

4

6560

1476

1440

10

9

19

180

181

1

32580

3439

3420

 

4.2.2    Geometrische Bedeutung

Im Dreieck mit  haben wir die Hšhen:

 

Wenn wir mit dem LŠngenfaktor 5 vergrš§ern, erhalten wir:

 

Die transformierten Tripel geben die HšhenverhŠltnisse wieder.

Literatur

[Morgan 2010]           Morgan, Frank: FermatŐs Last Theorem for Fractional and Irrational Exponents. The College Mathematics Journal, Vol. 41, No. 3, May 2010, p. 182-185.