Hans Walser, [20201209]

Falsches Dodekaeder

Anregung: Walter Arn, Flawil

1   Worum geht es?

Approximationsmodelle fŸr das regulŠre Dodekaeder

2   Standardbeispiel

Die Abbildung 1 zeigt ein Kantenmodell eines regulŠren Dodekaeders.

Abb. 1: Dodekaeder

Die Abbildung 2 zeigt ein Modell, das wie ein Dodekaeder aussieht.

Abb. 21: Dodekaeder?

Das Modell der Abbildung 2 ist aus einem Baukasten fŸr Chemie-Studierende gebaut.

Die Knotenelemente (Abb. 3a) haben eine Tetraedersymmetrie mit vier Andockbolzen, um welche Ršhrchen als VerbindungsstŸcke aufgesteckt werden kšnnen (Abb. 3b).

Abb. 3: Eckverbindungen

Die Endpunkte der vier gleich langen Ršhrchen bilden ein regulŠres Tetraeder. Das hei§t aber, dass zwei Ršhrchen paarweise einen Winkel von  einschlie§en. Dies ist der berŸhmte kristallografische Winkel. Er ist auch der stumpfe Schnittwinkel zweier Raumdiagonalen im WŸrfel. Weiter ist er der Diederwinkel (FlŠchenwinkel) im regulŠren Oktaeder. Er kommt also bei den drei platonischen Kšrpern Tetraeder, WŸrfel und Oktaeder vor, nicht aber beim regulŠren Dodekaeder oder Ikosaeder. Daher zeigt die Abbildung 2 eine ãFŠlschungÒ.

Die SeitenflŠchen des regulŠren Dodekaeders sind regulŠre FŸnfecke. Diese haben Innenwinkel von 108¡. Der Fehler betrŠgt also etwa anderthalb Grad. Dieser Fehler wird durch die ElastizitŠt des Materials aufgefangen. Von Auge ist er nicht wahrnehmbar.

Alle folgenden Modelle weisen im Prinzip denselben Fehler auf.

Bemerkung: der kristallografische Winkel ist auch der stumpfe Schnittwinkel der Diagonalen in einem Rechteck im DIN-Format, also zum Beispiel bei einem DIN A4 Papier (Abb. 4, Walser 2013).

Abb. 4: Kristallografischer Winkel

3   Abgestumpfte Tetraeder

Die Abbildung 5 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften Tetraedern. Das Modell wurde von Rahel Baumann, Flawil, gebaut. Jede Ecke des Dodekaeders besteht aus einem abgestumpften Tetraeder.

Abb. 5: Dodekaeder-Approximation (Foto Walter Arn)

Die Abbildungen 6 und 7 zeigen die Herstellung eines abgestumpften Tetraeders. An den Ecken des Tetraeders werden kleine Tetraeder abgeschnitten, deren KantenlŠnge ein Drittel der KantenlŠnge des Starttetraeders betrŠgt.

Abb. 6: Tetraeder im WŸrfel

Durch das Abschneiden entsteht ein Kšrper, dessen OberflŠche aus vier regulŠren Dreiecken und aus vier regulŠren Sechsecken besteht.

Abb. 7: Abgestumpftes Tetraeder

Im Modell der Abbildung 5 sind die abgestumpften Tetraeder an den DreiecksflŠchen verklebt worden. Die (ausgedehnten) Ebenen dieser Dreiecke schneiden sich unter dem kristallografischen Winkel.

FŸr den Bau eines abgestumpften Tetraeders braucht es zunŠchst vier gleichseitige Dreiecke aus Papier (Abb. 8a). Die Šu§eren Drittel-Ecken werden dann nach hinten gebogen. Je drei kleine Dreiecke von drei Bauteilen werden verklebt. An den blauen Sechseckkanten hat das Modell des abgestumpften Tetraeders einen Schlitz. Dies ist in der Abbildung 5 gut sichtbar.

Abb. 8: Bauteil

4   Abgestumpfte WŸrfel

Die Abbildung 9 zeigt eine Dodekaeder-Approximation aus abgestumpften WŸrfeln.

Abb. 9: Dodekaeder-Approximation

Die Abbildung 10 zeigt die Konstruktion der abgestumpften WŸrfel. Der WŸrfel wird an drei Ecken abgestumpft, welche je zwei KantenlŠngen voneinander entfernt sind. Die Ecken wurden bis zur Kantenmitte abgestumpft. Man hŠtte aber auch mehr oder weniger abstumpfen kšnnen. In der Abbildung 10a sehen wir drei von der Mitte ausgehende Halbdiagonalen, welche den kristallografischen Winkel einschlie§en.

Zwei benachbarte Bauteile werden an den DreiecksflŠchen verklebt.

Abb. 10: Abgestumpfter WŸrfel

Statt Ecken abstumpfen, kšnnen wir auch Ecken eindrŸcken (Abb. 11).

Abb. 11: EingedrŸckte Ecke

Allerdings mŸssen dann an den einzelnen WŸrfelchen unterschiedlich viele Ecken eingedrŸckt werden. Die Symmetrie ist ein bisschen im Eimer.

Die Abbildung 12 zeigt ein Dreistreifen-Flechtmodell eines WŸrfels mit einer eingedrŸckten Ecke.

Abb. 12: EingedrŸckte Ecke

Die Abbildung 13 zeigt das Schnitt- und Faltmuster der drei Streifen.

Abb. 13: Schnitt- und Faltmuster

 

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.

 

Website

Hans Walser: WŸrfel mit eingedrŸckten Ecken

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfel_eing_Ecken/Wuerfel_eing_Ecken.pdf