Hans Walser, [20130223]

Falscher Grenzwert

Anregung: FrŸhstŸcksgesprŠch in Paderborn.

1     Taxi Cab Geometry

In einer Stadt mit nur waagerechten und senkrechten Stra§en (Abb. 1) sind zwei Wege von A nach B eingezeichnet.

Abb. 1: Taxi Cab Geometry

Welcher der beiden Wege ist der kŸrzere? Welches ist der Ÿberhaupt kŸrzeste Weg von A nach B?

SchŸler haben nun den roten Weg als kŸrzeren vorzuschlagen und als kŸrzesten Weg Ÿberhaupt einen Treppenweg (Abb. 2), denn dieser ist am nŠchsten bei der Diagonalen.

Abb. 2: Treppenweg

Bei unendlich verkleinerter Maschenweite oder unendlich vergrš§erter Stadt wird der Treppenweg zur Diagonalen, womit sich im Limes gegenŸber dem blauen Weg der Abbildung 1 eine Reduktion der WeglŠnge auf

 

 

ergibt.

Haha lacht nun der Lehrer, die Wege sind alle gleich lang, wie man durch senkrechte Projektion der waagerechten Weganteile nach unten und entsprechende Projektion der senkrechten Weganteile nach rechts erkennt. Der Grenzwert ist also falsch.

2     AnnŠherung an die RealitŠt

2.1    Kurvenfahren

In Wirklichkeit fŠhrt niemand orthogonal durch die Stadt. In der Abbildung 3 sind die Stra§en mit einer gewissen Breite eingezeichnet und darin der blaue und der rote Weg der Abbildung 1. Dabei sind allerdings die folgenden Vereinfachungen getroffen:

(1)  Die Autos fahren in der Stra§enmitte, was in der RealitŠt nicht empfehlenswert ist.

(2)  Die Autos fahren in Viertelkreisen um die Kurve. In der RealitŠt tun sie das mit Klothoidenbšgen.

Abb. 3: AnnŠherung an die RealitŠt

Nun ist es so, dass wir bei jeder Kurve gegenŸber dem orthogonalen Weg eine WegverkŸrzung herausfahren. Je mehr Kurven, umso kŸrzer. Der rote Weg ist also kŸrzer als der blaue. Der blaue Weg ist allerdings schneller, da mit hšherem Tempo gefahren werden kann.

Die Abbildung 4 zeigt die beiden Minimalwege.

Abb. 4: Minimalwege

In einer idealen Stadt, die nur noch aus Stra§en besteht, ist ein optimaler Weg aus Viertelkreisen ohne geradlinige ZwischenstŸcke zusammengesetzt. Seine LŠnge ist gleich der LŠnge eines einzigen Viertelkreises von A nach B (Abb. 5). Warum?

Abb. 5: Schlangenweg

Das ist zwar lŠnger als die Diagonale, aber deutlich kŸrzer als der blaue Weg der Abbildung 1.


 

2.2    Fu§gŠngerzone

In einer Fu§gŠngerzone gestaltet sich die Situation gemŠ§ Abbildung 6.

Abb. 6: In der Fu§gŠngerzone

Der rote Weg ist kŸrzer als der blaue. Wer Lust hat, kann das nachrechnen.

Die Abbildung 7 zeigt die beiden Minimalwege. Das ist nun schon fast die Diagonale.

Abb. 7: Minimalwege