Hans Walser, [20120706]

Das FIN-Rechteck

1        Ansetzen oder abschneiden

Einem DIN-Rechteck setzen wir an der Schmalseite ein Quadrat an oder schneiden ein Quadrat ab.

Ansetzen oder abschneiden

Im ersten Fall entsteht ein Gesamtrechteck mit dem SeitenverhŠltnis , im zweiten Fall bleibt ein Restrechteck mit dem SeitenverhŠltnis  Ÿbrig. Dieses Restrechteck erhalten wir auch, wenn wir Papier im DIN-Format zu quadratischem Origami-Papier zuschneiden. Wegen

sind die beiden Rechtecke Šhnlich. Wir bezeichnen ein Rechteck mit diesem SeitenverhŠltnis als FIN-Rechteck.

2        Abschneiden von zwei Quadraten

Wenn wir bei einem FIN-Rechteck zwei Quadrate abschneiden, bleibt wieder ein FIN-Rechteck Ÿbrig.

Abschneiden zweier Quadrate

Dieses Abschneiden von zwei Quadraten kann iteriert werden.

Iteration

Nun kšnnen wir zum Beispiel mit Spiralen verzieren, welche aus Viertelkreisen zusammengesetzt sind.

Spiralen

3        Ansetzen von zwei Quadraten

NatŸrlich hŠtten wir auch je zwei Quadrate ansetzen kšnnen. In der folgenden Abbildung wurden zunŠchst einfach einmal zwei Einheitsquadrate nebeneinander gesetzt. Dann wurden je zwei Quadrate angesetzt. So erhalten wir eine Folge von Rechtecken.

Bottom up

FŸr die SeitenlŠngen der Quadrate erhalten wir die Folge:

1, 2, 5, 12, 29, 70, ...

Dies sind die so genannten Pell-Zahlen mit der Rekursion:

FŸr deren Quotientenfolge  erhalten wir den Grenzwert . Die Rechtecke nŠhern sich also dem Format des FIN-Rechtecks an.

4        Diagonalen im FIN-Rechteck

Die beiden Diagonalen im FIN-Rechteck schneiden sich unter einem spitzen Winkel von 45¡.

Diagonalenschnittwinkel 45¡

Dies kann zunŠchst rechnerisch eingesehen werden: FŸr den spitzen Diagonalenschnittwinkel  erhalten wir zunŠchst:

Damit wird:

Einfacher ist eine geometrische †berlegung (mitgeteilt von Renato Pandi): Die Verbindungslinie der beiden Diagonalenschnittpunkte des Quadrates und des FIN-Rechtecks ist die halbe Langseite des DIN-Rechteckes, im Format  also  und damit gleich lang wie die halbe Quadratdiagonale. Somit ergeben sich die zwei in der Abbildung eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecke mit dem Spitzenwinkel 45¡.

Zwei gleichschenklige Dreiecke

Die Basiswinkel dieser Dreiecke messen daher . So erhalten wir im FIN-Rechteck den stumpfen Diagonalenschnittwinkel 135¡.

5        RegelmŠ§iges Achteck

Mit dem 45¡-Winkel haben wir einen Link zum regelmŠ§igen Achteck.

Link zum regelmŠ§igen Achteck

6        FlŠcheninhalt

Das regelmŠ§ige Achteck hat den doppelten FlŠcheninhalt des FIN-Rechtecks. Dies kann auf verschiedene Weise eingesehen werden.


ZunŠchst einige Zerlegungsbeweise.

Zerlegungsbeweis mit 16 Puzzle-Teilen

Mit dem Stern aus Kindertagen geht es natŸrlich auch.

Stern

Es geht auch mit nur 8 Puzzle-Teilen.

Zerlegungsbeweis mit 8 Puzzle-Teilen

Wir die Symmetrie eingeschrŠnkt, geht es sogar mit nur 7 Puzzle-Teilen.

Zerlegungsbeweis mit 7 Puzzle-Teilen


Aus acht FIN-Rechtecken ergibt sich ein Achteck mit vierfachem FlŠcheninhalt.

Zerlegungsbeweis

Bei Verzicht auf Axialsymmetrie kommen wir mit weniger Puzzle-Teilen durch.

Zerlegungsbeweis


Und nun noch eine Kombination von Zerlegungsbeweis und ErgŠnzungsbeweis.

Stimmt es?

7        DIN-Rechteck und regelmŠ§iges Achteck

Die beiden in der Abbildung eingezeichneten gleichschenkligen Dreiecke machen flŠchenmŠ§ig zusammen genau ein Viertel des DIN-Rechtecks aus.

DIN-Rechteck und Achteck

Wir kšnnen daher zu einem Achteck ergŠnzen, welches zum DIN-Rechteck flŠchengleich ist.


Die folgende Abbildung zeigt einen Zerlegungsbeweis.

Zerlegung

8        Halbieren des DIN-Rechteckes

Die klassische Halbierung des DIN-Rechteckes geschieht durch die kurze Mittelparallele. Dadurch entstehen zwei Rechtecke wieder im DIN-Format.

Klassische Halbierung

Es geht aber auch anders. Wir beschreiben dem DIN-Rechteck ein Rechteck mit zwei diametralen Ecken in den Mittelpunkten der Schmalseiten des DIN-Rechteckes ein. Die beiden anderen Ecken finden wir mit dem Thaleskreis.

Einbeschriebenes Rechteck

Welches Format hat das einbeschriebene Rechteck? In einem DIN-Rechteck der Langseite  und der Schmalseite 1 hat der Thaleskreis den Radius . Damit ergibt sich das in der Abbildung eingezeichnete rechtwinklig gleichschenklige Dreieck mit der SchenkellŠnge . Weiter sehen wir daraus, dass das einbeschriebene Rechteck den Diagonalenschnittwinkel 45¡ hat. Es ist also ein FIN-Rechteck.

Ma§e

FŸr seine Seiten berechnen wir mit etwas Pythagoras:

Daraus ergibt sich fŸr den FlŠcheninhalt . Das Rechteck ist also flŠchenmŠ§ig halb so gro§ wie das ursprŸngliche DIN-Rechteck.

Das lŠsst sich auch durch Zerlegung zeigen.

Zerlegung

Das einbeschriebene FIN-Rechteck lŠsst sich auch durch einen Faltvorgang herstellen. Dabei spielt der 45¡-Winkel eine wichtige Rolle.

Wir nehmen ein DIN-Papier, das auf der Vorderseite gelb und auf der RŸckseite blau ist. Zur Vorbereitung fŸhren wir die drei ersten Faltschritte des ãSchiffchensÒ oder der ãMšweÒ durch und falten dann auf.

Faltvorbereitung

Nun kšnnen wir die Ecken des DIN-Rechteckes einfalten.

FIN-Rechteck

Das FIN-Rechteck ist Ÿberall zweilagig, es hat also den halben FlŠcheninhalt des ursprŸnglichen DIN-Rechteckes.

9        Bild des 4d-HyperwŸrfels

Der Umriss eines gŠngigen 2d-Bildes des 4d-HyperwŸrfel ist ein regelmŠ§iges Achteck. Daher finden wir das FIN-Rechteck an mehreren Orten.

4d-HyperwŸrfel

10    45¡-Rhomben

Das Seitenmittenviereck des FIN-Rechtecks ist ein Rhombus mit Spitzenwinkeln 45¡. Dies ist der kleinst-mšgliche Rhombus, der einem FIN-Rechteck einbeschrieben werden kann.

Kleinster 45¡-Rhombus


Den grš§t-mšglichen Rhombus erhalten wir durch Abschneiden zweier diametraler Ecken.

Grš§ter 45¡-Rhombus