Hans Walser, [20150439]

Exponentieller Zerfall und periodischer Nachschub

1     Problemstellung

Die Wirkstoffe eines Medikamentes werden im Kšrper im Sinne eines exponentiellen Zerfalls abgebaut.

Wie verhŠlt sich die Wirkstoffmenge im Kšrper wenn das Medikament in regelmŠ§igem Abstand eingenommen wird?

2     Beispiel

Die Wirkstoffmenge habe im Kšrper die Halbwertszeit 1. Pro Tablette werde die Wirkstoffmenge 1 eingenommen.

Bei einmaliger Tabletteneinnahme verhŠlt sich die Wirkstoffmenge im Kšrper gemŠ§ Abbildung 1. Wir haben einen klassischen exponentiellen Zerfall.

 

Abb. 1: Exponentielle Abnahme

 

Nun nehmen wir an, dass in Intervallen der Halbwertszeit je eine Tablette eingenommen wird. Die Wirkstoffmenge im Kšrper kumuliert sich gemŠ§ Abbildung 2.

 

Abb. 2: Kumulierung

 

Die Abbildung 3 zeigt die gesamte Wirkstoffmenge im Kšrper.

 

Abb. 3: Gesamte Wirkstoffmenge

 

Die Spitzen (Maxima unmittelbar nach der Tabletteneinnahme) nŠhern sich dem Grenzwert 2 (das ist das Doppelte der Tablettendosis), die Minima unmittelbar vor der Tabletteneinnahme nŠhern sich dem Grenzwert 1. Nach einer kurzen Startphase haben wir ein annŠhernd periodisches SŠgezahnmuster.

Die Abbildung 4 zeigt eine polygonale Approximation.

 

Abb. 4: Polygonale Approximation

 

Trapeze gleicher Farbe haben auch gleichen FlŠcheninhalt.

Von oben nach unten entwickelt sich die Reihe:

 

So erklŠrt sich der Grenzwert fźr die Spitzenhšhe.

3     Variation des Beispiels

Wir nehmen nun nur in AbstŠnden von zwei Halbwertszeiten eine Tablette (Abb. 5 und 6).

 

Abb. 5: Zwei Halbwertszeiten als Intervall

 

Abb. 6: Kumuliert

 

Fźr die Spitzen erhalten wir den Grenzwert , fźr die Minima den Grenzwert .