Hans Walser, [20151219]
Eulerformel
Anregung: S. N., B.
Eine Spielerei um die Eulersche Polyederformel.
Im Unterricht kann die Eulersche Polyederformel etwa an Schachteln (Pralinenschachteln) illustriert werden. Es ist mit e = # Ecken, k = # Kanten und f = # SeitenflŠchen:
(1)
Bei gekrŸmmten FlŠchen und Kanten ergibt die Formel (1) unterschiedliche Resultate. Wir haben dabei allerdings keine Polyeder mehr.
Abb. 1: Tropfen
Es ist:
(2)
Abb. 2: Kegel mit Boden
Es ist:
(3)
Kommentar: Die Kante ist nicht einfach zusammenhŠngend. Die MantelflŠche des Kegels ist nicht einfach zusammenhŠngend. Wir setzen dafŸr je einen ãStrafpunktÒ und rechnen algebraisch:
(4)
Abb. 3: Rundturm mit Kegeldach und Boden
Es ist:
(5)
Kommentar: Die beiden Kanten und die MantelflŠchen von Zylinder und Kegel sind nicht einfach zusammenhŠngend. Wir setzen je einen Strafpunkt:
(6)
Abb. 4: Zylinder mit Deckel und Boden
Es ist:
(7)
Kommentar: Die beiden Kanten und die MantelflŠche sind nicht einfach zusammenhŠngend. Mit Strafpunkten erhalten wir:
(8)
Die Eulerformel ist ãgerettetÒ.
Abb. 5: Doppelkegel
Es ist:
(9)
Die Kante und die beiden FlŠchen sind nicht einfach zusammenhŠngend. Mit Strafpunkten ergibt sich:
(10)
Und wieder ist die Eulerformel gerettet.
Abb. 6: Rollkšrper
Der Rollkšrper entsteht aus der Doppelpyramide (Abb. 5), indem diese mit einem Achsenschnitt halbiert wird (der Achsenschnitt ist ein Quadrat) und eine HŠlfte um 90¡ gedreht. In der Abbildung 7 ist der gedrehte Teil blau markiert. Der Farbwechsel rot-blau ist aber keine Kante, die FlŠche geht dort glatt durch.
Abb. 7: Entstehung des Rollkšrpers
Der Rollkšrper hat nur ein OberflŠchenstŸck und kann darauf abrollen. Wir erhalten:
(11)
Die FlŠche ist nicht einfach zusammenhŠngend und erhŠlt daher einen Strafpunkt:
(12)
Abb. 8: Halbkugel mit Boden
Es ist:
(13)
Die Kante ist nicht einfach zusammenhŠngend und erhŠlt einen Strafpunkt:
(14)
Abb. 9: Kugel
Es ist:
(15)
Auweia, was machen wir da?
Wir geben der KugeloberflŠche einen Bonuspunkt:
(16)
Der Bonuspunkt muss natŸrlich begrŸndet werden.
Wir versuchen, die Straf- und Bonuspunkte in ein System zu bringen. Dazu ersetzen wir die Terminologie durch Charakteristik und verfahren wir wie folgt.
Jedem Bauteil ordnen wir eine individuelle Charakteristik zu.
Ecken haben die Charakteristik 1. (Man kann sich Ÿberlegen, wie man mit Doppelecken, Dreifachecken, ... verfahren soll.)
Offene Kanten haben die Charakteristik 1, geschlossene Kanten die Charakteristik 0.
Bei FlŠchen zŠhlen wir die Anzahl der RŠnder und subtrahieren von 2.
Eine FlŠche ohne Rand (Kugel) hat die Charakteristik 2.
Eine FlŠche mit einem Rand hat die Charakteristik 1.
Eine FlŠche mit zwei RŠndern (Kreisring, allgemein eine FlŠche mit einem Loch) hat die Charakteristik 0.
Eine FlŠche mit k Lšchern hat die Charakteristik .
Vorsicht: Funktioniert nur bei FlŠchen ohne BrŸcken. Bei FlŠchen mit b BrŸcken (der Torus hat eine BrŸcke) muss die Charakteristik um reduziert werden.
Nun addieren wir die Charakteristiken. Charakteristiken von Ecken positiv, Charakteristiken von Kanten negativ und Charakteristiken von FlŠchen wieder positiv.
Abb. 10: Fratze
Wir haben fŸnf Ecken: Nasenspitze, Ecken bei Haaransatz.
Kanten:
Augenringe und Nasenansatz sind geschlossen, daher Charakteristik 0.
Die Ÿbrigen 6 Kanten sind offen, Charakteristik je 1.
FlŠchen:
Die AugenflŠchen, die HaarflŠche, die UnterhaarflŠche und die RŸckflŠche haben je einen Rand, also die Charakteristik 1.
Die NasenflŠche hat zwei RŠnder (Nasenansatz und Spitze), daher die Charakteristik 0.
Die GesichtsflŠche hat vier RŠnder (Umriss, Augenringe, Nasenansatz) und daher die Charakteristik .
Somit erhalten wir fŸr die Eulerformel:
(17)