Hans Walser, [20151219]

Eulerformel

Anregung: S. N., B.

1     Worum geht es?

Eine Spielerei um die Eulersche Polyederformel.

Im Unterricht kann die Eulersche Polyederformel etwa an Schachteln (Pralinenschachteln) illustriert werden. Es ist mit e = # Ecken, k = # Kanten und f = # SeitenflŠchen:

 

                                                                                                                    (1)

 

Bei gekrŸmmten FlŠchen und Kanten ergibt die Formel (1) unterschiedliche Resultate. Wir haben dabei allerdings keine Polyeder mehr.

2     Beispiele

2.1    Stimmige Beispiele

2.1.1   Tropfen

Abb. 1: Tropfen

Es ist:

 

                                                                                                    (2)

 

2.1.2   Kegel

Abb. 2: Kegel mit Boden

Es ist:

 

                                                                                                    (3)

 

Kommentar: Die Kante ist nicht einfach zusammenhŠngend. Die MantelflŠche des Kegels ist nicht einfach zusammenhŠngend. Wir setzen dafŸr je einen ãStrafpunktÒ und rechnen algebraisch:

 

                                                                             (4)

 

2.1.3   Rundturm mit Kegeldach

Abb. 3: Rundturm mit Kegeldach und Boden

Es ist:

 

                                                                                                   (5)

 

Kommentar: Die beiden Kanten und die MantelflŠchen von Zylinder und Kegel sind nicht einfach zusammenhŠngend. Wir setzen je einen Strafpunkt:

 

                                                                        (6)

 

2.2    Unstimmige Beispiele

2.2.1   Zylinder

Abb. 4: Zylinder mit Deckel und Boden

Es ist:

 

                                                                                             (7)

 

Kommentar: Die beiden Kanten und die MantelflŠche sind nicht einfach zusammenhŠngend. Mit Strafpunkten erhalten wir:

 

                                                                         (8)

 

Die Eulerformel ist ãgerettetÒ.

2.2.2   Doppelkegel

Abb. 5: Doppelkegel

Es ist:

 

                                                                                             (9)

 

Die Kante und die beiden FlŠchen sind nicht einfach zusammenhŠngend. Mit Strafpunkten ergibt sich:

 

                                                                                 (10)

 

Und wieder ist die Eulerformel gerettet.

2.2.3   Rollkšrper

Abb. 6: Rollkšrper

Der Rollkšrper entsteht aus der Doppelpyramide (Abb. 5), indem diese mit einem Achsenschnitt halbiert wird (der Achsenschnitt ist ein Quadrat) und eine HŠlfte um 90¡ gedreht. In der Abbildung 7 ist der gedrehte Teil blau markiert. Der Farbwechsel rot-blau ist aber keine Kante, die FlŠche geht dort glatt durch.

Abb. 7: Entstehung des Rollkšrpers

Der Rollkšrper hat nur ein OberflŠchenstŸck und kann darauf abrollen. Wir erhalten:

 

                                                                                           (11)

 

Die FlŠche ist nicht einfach zusammenhŠngend und erhŠlt daher einen Strafpunkt:

 

                                                                                         (12)

 

2.2.4   Halbkugel

Abb. 8: Halbkugel mit Boden

Es ist:

 

                                                                                            (13)

 

Die Kante ist nicht einfach zusammenhŠngend und erhŠlt einen Strafpunkt:

 

                                                                                         (14)

 

2.2.5   Die Kugel

Abb. 9: Kugel

Es ist:

 

                                                                                             (15)

 

Auweia, was machen wir da?

Wir geben der KugeloberflŠche einen Bonuspunkt:

 

                                                                                          (16)

 

Der Bonuspunkt muss natŸrlich begrŸndet werden.

3     Straf- und Bonuspunkte

Wir versuchen, die Straf- und Bonuspunkte in ein System zu bringen. Dazu ersetzen wir die Terminologie durch Charakteristik und verfahren wir wie folgt.

3.1    Charakteristik

Jedem Bauteil ordnen wir eine individuelle Charakteristik zu.

3.1.1   Ecken

Ecken haben die Charakteristik 1. (Man kann sich Ÿberlegen, wie man mit Doppelecken, Dreifachecken, ... verfahren soll.)

3.1.2   Kanten

Offene Kanten haben die Charakteristik 1, geschlossene Kanten die Charakteristik 0.

3.1.3   FlŠchen

Bei FlŠchen zŠhlen wir die Anzahl der RŠnder und subtrahieren von 2.

Eine FlŠche ohne Rand (Kugel) hat die Charakteristik 2.

Eine FlŠche mit einem Rand hat die Charakteristik 1.

Eine FlŠche mit zwei RŠndern (Kreisring, allgemein eine FlŠche mit einem Loch) hat die Charakteristik 0.

Eine FlŠche mit k Lšchern hat die Charakteristik .

Vorsicht: Funktioniert nur bei FlŠchen ohne BrŸcken. Bei FlŠchen mit b BrŸcken (der Torus hat eine BrŸcke) muss die Charakteristik um  reduziert werden.

3.2    Eulerformel

Nun addieren wir die Charakteristiken. Charakteristiken von Ecken positiv, Charakteristiken von Kanten negativ und Charakteristiken von FlŠchen wieder positiv.

3.3    Beispiel

         

Abb. 10: Fratze

Wir haben fŸnf Ecken: Nasenspitze, Ecken bei Haaransatz.

Kanten:

Augenringe und Nasenansatz sind geschlossen, daher Charakteristik 0.

Die Ÿbrigen 6 Kanten sind offen, Charakteristik je 1.

FlŠchen:

Die AugenflŠchen, die HaarflŠche, die UnterhaarflŠche und die RŸckflŠche haben je einen Rand, also die Charakteristik 1.

Die NasenflŠche hat zwei RŠnder (Nasenansatz und Spitze), daher die Charakteristik 0.

Die GesichtsflŠche hat vier RŠnder (Umriss, Augenringe, Nasenansatz) und daher die Charakteristik .

Somit erhalten wir fŸr die Eulerformel:

 

                                                                                        (17)