Hans Walser, [20180701]
ErgŠnzung zum Rechteck
Spiel mit Tangenten und Rechtecken bei Kegelschnitten. Als Sonderfall erscheint das Rechteck im DIN-Format.
Wir beginnen mit der Parabel (Abb. 1):
(1)
Abb. 1: Parabel mit Brennpunkt und Leitlinie
Die Parabel p hat den Brennpunkt und die Leitlinie . Auf der Leitlinie l wŠhlen wir einen Punkt P.
Die Tangenten von P an die Parabel p sind orthogonal (Abb. 2). Die Berźhrungspunkte bezeichnen wir mit B1 und B2.
Abb. 2: Tangenten
Wir ergŠnzen das rechtwinklige Dreieck B2B1P zum Rechteck B2SB1P (Abb. 3).
Abb. 3: ErgŠnzung zum Rechteck
Die Frage ist nun, welche Kurve der Punkt S beschreibt, wenn P auf l variiert.
Wir erhalten wieder eine Parabel (Abb. 4).
Abb. 4: Zweite Parabel
Diese Parabel hat die Gleichung:
(2)
Dies kann durch Rechnung nachgewiesen werden.
Die Scheitelkrźmmungskreise der beiden Parabeln haben den Punkt gemeinsam (Abb. 5). Wir kšnnen die Parabel q durch eine Streckung mit dem Zentrum Z und dem Faktor 4 auf die Parabel p abbilden.
Abb. 5: Krźmmungskreise in den Scheiteln
Im symmetrischen Fall ist das Rechteck ein auf der Spitze stehendes Quadrat (Abb. 6). Der Brennpunkt F ist das Zentrum des Quadrates.
Abb. 6: Sonderfall Quadrat
Die Abbildung 7 zeigt einen interessanten Sonderfall: Die Rechteckseiten sind nicht nur tangential oder normal zur Parabel p sondern auch zur Parabel q.
Die Oberkante B2S liegt auf einer Geraden durch Z. Das Rechteck hat das SeitenverhŠltnis , entspricht also dem DIN-Format (Walser 2013).
Die Strecke B2S ist eine der beiden Minimaltransversalen (die andere liegt symmetrisch dazu) der beiden Parabeln. Sie hat die LŠnge:
(3)
Eine Kreisscheibe mit dem Durchmesser dieser Strecke B2S ist die grš§te Kreisscheibe, die zwischen den beiden Parabeln durchgeschoben werden kann.
Abb. 7: DIN-Format
Die Figur kann iteriert werden (Abb. 8).
Abb. 8: Iteration
Die Punkte, von denen aus eine Ellipse (oder eine Hyperbel) unter einem rechten Winkel gesehen wird, bilden einen Kreis (ăThaleskreisŇ, [1] ). Bei einer Ellipse mit den Halbachsen a und b hat der Kreis den Radius r:
(4)
Abb. 9: Thaleskreis an die Ellipse
Die ergŠnzende Ecke S zeichnet eine Rosette (Abb. 10).
Abb. 10: Rosette
Wir haben einen Thaleskreis (Abb. 11) mit dem Radius r
(5)
Es muss also a ł b sein, damit man rechtwinklige Tangenten an die Hyperbel zeichnen kann.
Abb. 11: Thaleskreis der Hyperbel
Der ergŠnzende Punkt S beschreibt eine aus vier €sten bestehende Kurve (Abb. 12).
Abb. 12: Vierteilige Kurve
Websites
Hans Walser: Tangenten an Ellipse und Hyperbel (abgerufen 02.07.2018):
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangenten_E_H/Tangenten_E_H
Literaturverzeichnis
Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2013. ISBN 978-3-937219-69-1.