Hans Walser, [20180712]

Ellipsenfraktal

1   Konstruktion

Wir beginnen mit einer liegenden Ellipse mit den Achsen a und b (Abb. 1a):

 

                                                                             (1)

 

 

Abb. 1: Start und erster Schritt

Davon machen wir zwei Kopien (gelb in Abb. 1b) mit dem Verkleinerungsfaktor r:

 

                                                                                         (2)

 

 

Diese stellen wir hochkant und platzieren sie gemŠ§ Abbildung 1b in die rote Ellipse. Die gelben Ellipsen berźhren einander in einem stumpfen Scheitel und haben links und rechts au§en in den Berźhrungspunkten mit der roten Ellipse denselben Krźmmungskreis wie die rote Ellipse. Wir haben eine kissing point Situation. Die gelben Ellipsen schmiegen sich bestmšglich an die rote.

Rechnerische Herleitung siehe [1].

Nun iterieren wir den Prozess. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen die Folgeschritte.

Abb. 2: Folgeschritte

Abb. 3: Folgeschritte

Wenn wir immer so weiterfahren, erhalten wir das Fraktal. Da wir aber nicht unendlich lang leben und auch die SpeicherkapazitŠt meines Computers beschrŠnkt ist, mźssen wir mit den vorlŠufigen Bildern vorlieb nehmen.

2   Beispiele

Die folgenden Abbildungen zeigen grafische Varianten der Abbildung 3b.

Abb. 4: Zweifarbig, schwarze Linien

Abb. 5: Linien

Abb. 6: Zweifarbig, wei§e Linien

Abb. 7: Zweifarbig

Abb. 8: Einfarbig, wei§e Linien

3   Fraktale Dimension

Die fraktale Dimension D (Mandelbrot Dimension) ist:

 

                                                                                     (3)

 

 

Wir haben in unserem Beispiel eine rationale fraktale Dimension.

4   Variante

Die Abbildungen 9, 10 und 11 zeigen eine Variante. Rechnerische Herleitung siehe [1].

Auch diese Variante hat die fraktale Dimension .

Abb. 9: Variante mit fźnf kleinen Ellipsen

Abb. 10: Iteration

Abb. 11: Weitere Iteration

 

Weblinks

[1] Hans Walser: Ellipsen in Ellipse (11.07.2018):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsen_in_Ellipse/Ellipsen_in_Ellipse.htm

 

Literatur

Mandelbrot, Beno”t B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1186-9

Mandelbrot, Beno”t B. (1991). Die fraktale Geometrie der Natur. Basel: BirkhŠuser.