Hans Walser, [20180710], [20190710]

Ellipsen im DIN-Format

1     Worum geht es?

Einfache Vorgaben Ÿber die ScheitelkrŸmmungskreise fŸhren zu Ellipsen mit dem AchsenverhŠltnis . Sie kšnnen daher in DIN-Rechtecke eingepasst werden. Beweise durch †berlegen und/oder Nachrechnen.

†ber DIN-Rechtecke siehe Walser (2013).

2     KrŸmmungskreise in den spitzen Scheiteln

Wir beginnen mit zwei gleich gro§en sich berŸhrenden Kreisen (Abb. 1a).

Abb. 1: Zwei sich berŸhrende Kreise

In der Abbildung 1b ist die Ellipse eingezeichnet, welche diese beiden Kreise umfasst und in den spitzen Scheiteln als KrŸmmungskreise (kissing circles) hat.

Diese Ellipse passt in ein DIN-Rechteck (Abb. 2a). Sie hat das AchsenverhŠltnis:

 

                                                                                                                 (1)

 

 

 

Abb. 2: DIN-Rechteck. Brennpunkte

Die Brennpunkte der Ellipse finden wir durch Einpassen eines auf der Spitze stehenden Quadrates (Abb. 2b).

In der Abbildung 3 ist zusŠtzlich die Evolute der Ellipse eingezeichnet.

Abb. 3: Evolute

3     KrŸmmungskreise in den stumpfen Scheiteln

Wir beginnen mit zwei gleich gro§en Kreisen, von denen jeder den Mittelpunkt auf der Kreislinie des anderen hat (Abb. 4a). Diese Kreiskonfiguration kann als Start einer Konstruktion eines gleichseitigen Dreiecks oder eines regelmŠ§igen Sechsecks gesehen werden. ZahlenmŠ§ig denken wir dabei an , was zunŠchst nichts mit dem  des DIN-Formates zu tun hat.

Abb. 4: Zwei gro§e Kreise

In das Auge, also den †berlappungsbereich der beiden Kreise zeichnen wir die Ellipse mit den beiden Kreisen als KrŸmmungskreise in den stumpfen Scheiteln (Abb. 4b). Diese Ellipse lŠsst sich wiederum in ein DIN-Rechteck einpassen (Abb. 5a). Sie hat ebenfalls das AchsenverhŠltnis:

 

                                                                                                                 (2)

 

 

 

Sie hat also dieselbe Form wie die Ellipse in der Abbildung 1b.

Die Brennpunkte finden wir durch geeignete Quadratdiagonalen (Abb. 5b). Diese Diagonalen verlaufen auch durch die Schnittpunkte der Kreise mit den Rechteckseiten (rot in Abb. 5b).

Abb. 5: Ellipse

4     Im Kreis

Zwei solche sich in stumpfen Scheiteln berŸhrende Ellipsen passen in einen Kreis, so dass dieser KrŸmmungskreis in den beiden anderen stumpfen Scheiteln wird (Abb. 6a). Bei vier Ellipsen erhalten wir einen kleeblattfšrmigen †berlappungsbereich (Abb. 6b).

Abb. 6: Zwei und vier Ellipsen im Kreis

5     Vier Ellipsen in einer fŸnften

Vier Ellipsen aneinandergereiht passen in eine grš§ere fŸnfte Ellipse von derselben Form (Abb. 7) und zwar so, dass die KrŸmmungskreise in den stumpfen Scheiteln der beiden Šu§ersten Ellipsen gleich den KrŸmmungskreisen in den spitzen Scheiteln der umfassenden Ellipse ist.

Abb. 7: Vier Ellipsen in einer fŸnften

Die Figur lŠsst sich in einen DIN-Raster einpassen (Abb. 8).

Abb. 8: Im DIN-Raster

Literatur

Walser, Hans (2013): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.