Hans Walser, [20200416]

Einstreifen-Flechtmodell

1   Worum geht es?

Die meisten Flechtmodelle benštigen mehrere Streifen. Ein WŸrfel etwa kann am einfachsten aus drei Streifen geflochten werden [1].

Wir besprechen einen Kšrper, fŸr den es ein Flechtmodell mit nur einem Streifen gibt.

2   Der Kšrper

Von einem WŸrfel (Abb. 1a) schneiden wir eine Ecke ab (Abb. 1b). Die SchnittflŠche ist ein gleichseitiges Dreieck. Nun spiegeln wir die abgeschnittene Ecke an diesem gleichseitigen Dreieck. Die Gesamtfigur (Abb. 1c) ist unser Kšrper. Sein Volumen ist ein Drittel des WŸrfelvolumens. Seine OberflŠche ist die HŠlfte der WŸrfeloberflŠche

Abb. 1: Konstruktion des Kšrpers

3   Der Streifen

Die Abbildung 2 zeigt den Streifen mit den Faltlinien. Es sind alles Talfaltlinien.

Abb. 2: Streifen

Der grau getšnte Teil dient der †berlappung. Der Streifen besteht im Prinzip aus 6 + 2 Quadraten. Allerdings muss der Streifen etwa 1mm schmaler als die Quadratseite geschnitten werden, damit es keine Probleme mit der Papierdicke gibt. Die Abbildung 3 zeigt den Streifen (aus einem DIN A4-Papier im Querformat herausgeschnitten).

Abb. 3: Papierstreifen

4   Flechten

Das Flechten ist subtil und lŠuft nach dem Prinzip einer Verschlingung (Knoten). Die Abbildung 4 zeigt den Beginn. Die BŸroklammer diente nur zur Fixierung wŠhrend des Fotografierens.

Abb. 4: Flechtbeginn

Nun wird das in der Abbildung 4 rechts liegende Streifenende hinein- und durchgezogen, so dass topologisch eine Verschlingung (Knoten) entsteht (Abb. 5).

Abb. 5: Knoten

Das durchgezogene Streifenende wird angezogen (Abb. 6). Der Kšrper nimmt Gestalt an.

Abb. 6: Angezogenes Streifenende

Das durchgezogene kleine Streifenende wird heruntergeklappt und das lange Streifenende darŸber hinaufgezogen (Abb. 7).

Abb. 7: Heraufziehen des langen Streifenendes

Nun wird dieses lange Streifenende hineingeschoben (Abb. 8).

Abb. 8: Einschieben des langen Streifenendes

Schlie§lich erscheint unser Kšrper (Abb. 9).

Abb. 9: Fertiges Modell

5   Dachfigur

Die Abbildungen 10a und 10b zeigen nochmals dasselbe wie die Abbildungen 1b und 1c, jetzt in ein Koordinatensystem eingepasst.

Abb. 10: Im Koordinatensystem

Durch Drehen der WŸrfelecke der Abbildung 10a um die senkrechte Achse um Vielfache von 90¡ entsteht eine Pyramide (Abb. 11), die obere HŠlfte eines Oktaeders. Dabei sind die Farben alternierend gelb und rot gewŠhlt.

Abb. 11: Pyramide

Durch Drehen unseres Kšrpers (Abb. 10b) um die senkrechte Achse um Vielfache von 90¡ entsteht eine gebŠudeartige Figur (Abb. 12).

Abb. 12: GebŠude

Die Abbildung 13 zeigt dasselbe aus vier zusammengeschobenen Papiermodellen.

Abb. 13: PapiergebŠude

Die Abbildung 14 zeigt die GebŠudefigur in einer anderen FŠrbung. Das Dach ist rot, die nicht sichtbare quadratische GrundflŠche und die vier GiebelflŠchen sind grŸn.

Abb. 14: Dach

Das Dach einerseits und die BogenflŠche plus die vier GiebelflŠchen andererseits haben denselben FlŠcheninhalt und kšnnen je zu einem Quadrat abgewickelt werden [2].

Schlie§lich kšnnen wir die Figur der Abbildung 12 nach unten verdoppeln (Abb. 15). Wir erhalten eine Figur mit denselben Symmetrien wie der WŸrfel oder das Oktaeder. Die Figur besteht aus acht Teilfiguren der Abbildungen 1c, 9 oder 10b.

Abb. 15: Henusode

6   Doppelpyramide

Unser Kšrper (Abb. 1c, 9, 10b) kann als Doppelpyramide gesehen werde. Die BasisflŠche ist ein gleichseitiges Dreieck (Abb. 16).

Abb. 16: Basisdreieck

Nach oben (Abb. 17) und nach unten (Abb. 18) wird je eine Pyramide mit je drei rechtwinklig gleichschenkligen Dreiecken als SeitenflŠchen angesetzt.

Abb. 17: Dreikant-Pyramide oben

Abb. 18: Doppelpyramide

7   Doppeltetraeder

Wir kšnnen die rechtwinklig gleichschenkligen Seitendreiecke durch gleichseitige Dreiecke ersetzen (Abb. 19). Der Kšrper besteht nun aus zwei regelmŠ§igen Tetraedern.

Abb. 19: Doppeltetraeder

Auch dieses Doppeltetraeder kann aus einem einzigen Streifen (Abb. 20) geflochten werden. Es ist ein Zickzack-Streifen.

Abb. 20: Zickzack-Streifen

Die Abbildung 21 zeigt das Flechtmodell. 

Abb. 21: Doppeltetraieder

8   Ein ParitŠtsproblem

Jede Doppelpyramide mit einer ungeraden Anzahl u der SeitenflŠchen pro Teilpyramide kann aus einem einzigen Streifen geflochten werden.

Die SeitenflŠchen sind im allgemeinen Fall gleichschenklige Dreiecke.

Ein Beispiel fŸr u = 5:

Wir beginnen mit einem regelmŠ§igen FŸnfeck als Basis (Abb. 22).

Abb. 22: RegelmŠ§iges FŸnfeck

Nun setzen wir eine FŸnfkant-Pyramide auf (Abb. 23).

Abb. 23: FŸnfkant-Pyramide

Die SeitenflŠchen wurden als gleichseitige Dreiecke gewŠhlt. Damit hat die Pyramidenspitze die gleiche Geometrie wie eine Ecke des regelmŠ§igen Ikosaeders.

Nun setzen wir auch unten eine FŸnfkant-Pyramide an (Abb. 24).

Abb. 24: Doppelpyramide

Diese Doppelpyramide kann aus einem einzigen Streifen (Abb. 25) geflochten werden. Es ist ein Zickzack-Streifen.

Abb. 25: Zickzack-Streifen

Die Abbildung 26 zeigt das Flechtmodell. 

Abb. 26: Flechtmodell

 

Websites

[1] Hans Walser: WŸrfelwelten

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelten/Wuerfelwelten.htm

 

[2] Hans Walser: DŠcher

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Daecher2/Daecher2.htm