Hans Walser, [20160703]
Eckiger Hippokrates
Es wird ein FlŠchensatz gezeigt, der eine spezielle Verallgemeinerung der ãMšndchen des HippokratesÒ darstellt. Der FlŠchensatz gestattet einen Zerlegungsbeweis.
In der Regel werden bei der Pythagoras-Ikone die drei Quadrate nach au§en angesetzt. Wir setzen nun das Hypotenusenquadrat nach innen an (Abb. 1).
Abb. 1: AbgeŠnderte Pythagoras-Ikone
Die linke obere Ecke des Hypotenusenquadrates liegt tatsŠchlich auf einer Seite des linken Kathetenquadrates.
Die rot bemalten FlŠchen sind zusammen gleich gro§ wie die blau bemalten FlŠchen (Abb. 2).
Abb. 2: Rot = Blau
Beweis: Es ist:
Hypotenusenquadrat = Wei§ plus Rot
Kathetenquadrate zusammen = Wei§ plus Blau
Da nach dem Satz des Pythagoras die Kathetenquadrate zusammen gleich gro§ sind wie das Hypotenusenquadrat, ist Rot gleich Blau.
FŸr Verallgemeinerungen siehe (Heinrich / Schmitz / Walser, 1999).
Wir zeigen hier einen einfachen Zerlegungsbeweis (Abb. 3).
Abb. 3: Zerlegungsbeweis
Anstelle von Quadraten setzen wir regelmŠ§ige FŸnfecke an (Abb. 4).
Abb. 4: RegelmŠ§ige FŸnfecke
Wieder entsteht nach (Heinrich / Schmitz / Walser, 1999) ein FlŠchensatz (Abb. 5).
Abb. 5: Rot = Blau
Wir kšnnen wieder wie oben mit den Quadraten argumentieren, da der Satz des Pythagoras auch fŸr angesetzte regelmŠ§ige FŸnfecke gilt.
Ich habe keinen schšnen Zerlegungsbeweis gefunden.
Literatur
Heinrich, Frank / Schmitz, Michael / Walser, Hans (1999): Verallgemeinerungen der ÒMšndchen des HippokratesÓ. MNU Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 52/5, 1999, 264-270.