Hans Walser, [20190516]
Dudeney
1 Worum geht es?
Dreidimensionales virtuelles Gelenkmodell zur Visualisierung der Zerlegung eines Quadrates in ein gleichseitiges Dreieck nach Dudeney.
2 Die Zerlegung
Die Abbildung 1 zeigt die Zerlegung nach Dudeney.
Abb. 1: Zerlegung nach Dudeney
3 Gelenke
Es gibt verschiedene Gelenkmodelle, um den †bergang von Quadrat zum Dreieck zu zeigen. Alle mir bekannten Gelenkmodelle arbeiten mit den in der Abbildung 2 eingezeichneten Gelenkpunkten. Auch wir werden mit diesen Gelenkpunkten arbeiten.
Abb. 2: Gelenkpunkte
Die vier Gelenkpunkte bilden ein Parallelogramm. Dieses ist aber kein Rechteck. Die Abweichung vom rechten Winkel betrŠgt allerdings nur etwa 0.5964ˇ und kann daher von blo§em Auge zunŠchst nicht wahrgenommen werden.
4 Eine falsche Idee
Wir spiegeln die vier Teile der Quadrat-Zerlegung je an einer Seite des Parallelogramms (Abb. 3).
Abb. 3: Ein kleiner Fehler
Wir erkennen im Innern der Figur rechts minime Unstimmigkeiten. Diese sind die Folge der Abweichung des Parallelogramms vom Rechteck.
Wir mźssen also diese Abweichung auskorrigieren.
Weiter ist bei der Figur rechts der Abbildung 3 die zyklische Anordnung der vier Teile umgekehrt als beim Dreieck der Abbildung 2. Dies ist eine Folge des Spiegelns.
5 Drehungen im Raum
Die Idee ist nun, dass wir die vier Teile um die Seiten des Parallelgramms rŠumlich drehen und im gleichen Prozess die Abweichung vom rechten Winkel justieren.
Wir legen das Quadrat zunŠchst in die xy-Ebene eines rŠumlichen Koordinatensystems (Abb. 4). Das Quadrat erscheint jetzt natźrlich verzerrt (schiefe Sicht). Es entspricht aber den Quadraten der Abbildungen 1 bis 3.
Abb. 4: Quadrat im Raum
Nun drehen wir die einzelnen Teile um die Parallelogrammseiten (Abb. 5) und verŠndern das Parallelogramm gleichzeitig so, dass es am Schluss seinem Spiegelbild entspricht.
Abb. 5: Drehungen im Raum
Nach diesem Prozess haben wir ein sauberes Dreieck. Es ist aber spiegelbildlich zum Dreieck der Abbildung 1. Wenn wir es allerdings von unten ansehen (im Raum kšnnen wir das), entspricht es dem Dreieck der Abbildung 1.
Dieser Studie ist eine Animation beigegeben, welche den Drehprozess illustriert.
Weblinks
DITOH, Spezieller platonischer Kšrper
Hans Walser: Sechseckpuzzle
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sechseckpuzzle/index.html
Hans Walser: Kreuzpuzzle
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kreuzpuzzle2/index.html
Hans Walser: Frederickson
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Frederickson/index.html
Hans Walser: Dudeney
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dudeney2/Dudeney2.htm