Hans Walser, [20120903]

DualbrŸche

1        Worum geht es?

Visualisierung der DualbrŸche durch Kreise.

Beispiel:

Dualbruch von 1/3 = 0. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Visualisierung:

Exemplarisches Vorgehen:

Die erste Nachkommastelle ist 0. Daher setzen wir den ersten Kreis mit dem Durchmesser ans obere Ende des Intervalls .

Die zweite Nachkommastelle ist 1. Wir sehen den zweiten Kreis mit dem Durchmesser ans untere Ende des noch freien Intervalls .

Die dritte Nachkommastelle ist 0. Wir setzen den dritten Kreis mit dem Durchmesser ans obere Ende des noch freien Intervalls .

Und so weiter und so fort. Der Punkt ist immer im Innern des noch freien Intervalls.

Wir haben von links und von rechts her eine Folge von immer kleiner werdenden Kreisen. Der Grenzpunkt ist bei einem Drittel.

2        Allgemein

Wir schreiben eine reelle Zahl in der Dualbruchdarstellung und beginnen die Visualisierung mit dem leeren Intervall .

Der n-te Kreis hat den Durchmesser . Wenn die n-te Nachkommastelle in der Dualbruchentwicklung 1 ist, setzen wir den n-ten Kreis ans untere Ende des noch freien Intervalls, andernfalls ans obere Ende. Der Punkt a ist immer im Innern der auf dem Rand des noch freien Intervalls. Letzteres ist nur dann der Fall, wenn a eine abbrechende Dualbruchentwicklung hat.

Wir erhalten von links und von rechts her eine Folge von immer kleiner werdenden Kreisen. Der Grenzpunkt ist bei a.

3        Beispiele

3.1      Zehntel

In den folgenden Beispielen ist .

0 = 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.1 = 0. 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

0.2 = 0. 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0.3 = 0. 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0.4 = 0. 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

0.5 = 0. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.6 = 0. 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1

0.7 = 0. 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0.8 = 0. 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

0.9 = 0. 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

1 = 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3.2      StammbrŸche

Beispiele fŸr die StammbrŸche .

1/4 = 0. 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1/5 = 0. 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

1/6 = 0. 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

1/7 = 0. 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1/8 = 0. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0


3.3      Irrationale Zahlen

Bei irrationalen Zahlen ist die Dualbruchentwicklung aperiodisch.

FŸr erhalten wir:

1/2*2^(1/2) = 0. 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1

FŸr erhalten wir:

1/4*PI = 0. 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1


Und schlie§lich noch der Goldene Schnitt :

1/2*5^(1/2) - 1/2 = 0. 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1