Hans Walser, [20170902]

Dreiecksunterteilung mit Seitenhalbierenden

Anregung: Hšlzl 2017

1     Worum geht es?

Wir unterteilen ein Dreieck mit einer Seitenhalbierenden und iterieren den Prozess.

2     Unterteilungsmšglichkeiten

Wir zeichnen nur eine Seitenhalbierende ein (Abb. 1). Die Teildreiecke haben unterschiedliche Form, aber den gleichen FlŠcheninhalt.

Abb. 1: Unterteilung mit Seitenhalbierender

FŸr den zweiten Unterteilungsschritt gibt es mehrere Mšglichkeiten.

2.1    FŠcher

Wir zeichnen bei den beiden nachfolgenden Unterteilungen die Seitenhalbierenden von derselben Ecke aus wie bei der vorangehenden Unterteilung. Es entsteht ein FŠcher (Abb. 2). Bisschen langweilig.

Abb. 2: FŠcher

2.2    Raster

Bei den nachfolgenden Unterteilungen zeichnen wir die Seitenhalbierenden von der Seitenmitte der vorangehenden Unterteilung aus. Es entsteht ein Dreiecksraster (Abb. 3). Nicht sonderlich interessant.

Abb. 3: Raster

2.3    Gegenpunkt

Bei den nachfolgenden Unterteilungen zeichnen wir die Seitenhalbierenden vom Gegenpunkt der vorangehenden Unterteilungsseitenhalbierenden aus (Abb. 4).

Abb. 4: Etwas Neues

Das sieht nun interessanter aus.

Die Abbildung 5 zeigt die siebte Unterteilung nach diesem Verfahren.

Abb. 5: Siebte Unterteilung

2.4    Kombinationen

2.4.1   FŠcher und Raster

Wir kombinieren FŠcher und Raster (Abb. 6). Es entstehen innere Teilpunkte, an denen drei Teildreiecke zusammenkommen. Wir brŠuchten mehr als zwei Farben, um das wie eine Landkarte zu kolorieren.

Abb. 6: FŠcher und Raster

2.4.2   FŠcher und Gegenpunkt

Abb. 7: FŠcher und Gegenpunkt

Auch hier kommen wir nicht mehr mit zwei Farben aus.

2.4.3   Raster und Gegenpunkt

Abb. 8: Raster und Gegenpunkt

3     Gleichseitiges Dreieck

Das Unterteilen mit Seitenhalbierenden ist affin invariant. Wir kšnnen also die bisherigen Unterteilungen auf ein gleichseitiges Dreieck affin abbilden.

Die Abbildung 9 zeigt die siebte Unterteilung (vgl. Abb. 5) fŸr ein gleichseitiges Dreieck.

Abb. 9: Gleichseitiges Dreieck

Die Figur hat nicht die dreiteilige Rotationssymmetrie wie das gleichseitige Dreieck. Das liegt daran, dass durch die erste Seitenhalbierende die Rotationssymmetrie zerstšrt wird.

Wir kšnnen sechs Exemplare der Abbildung 9 zu einem Sechseck zusammenfŸgen (Abb. 10).

Abb. 10: Sechseck

In der Abbildung 11 ist aus einer vereinfachten Version (nur 5 Unterteilungen) ein Bienenwabenmuster gelegt.

Abb. 11: Bienenwabenmuster

In [1] wird die iterierte Unterteilung eines rechtwinkligen Dreiecks durch die Hšhe besprochen.

 

 

 

Literatur

Hšlzl, Reinhard (2017): Dreiecke in Dreiecke zerlegen. Welche Eigenschaften und ZusammenhŠnge findest du? mathematik lehren 201 | 2017, 12-15.

 

Websites

[1] Hans Walser: Dreiecksunterteilung und Binomialverteilung (abgerufen 3.9.2017):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dreiecksunterteilung2/Dreiecksunterteilung2.htm